X
Код презентации скопируйте его
Теория вероятностей. Случайные величины
Скачать эту презентацию
Презентация на тему Теория вероятностей. Случайные величины
Скачать эту презентациюCлайд 1
Случайные величины http://prezentacija.biz/
Cлайд 2
Схема Бернулли Рассмотрим последовательность n независимых однородных испытаний (экспериментов). Испытания считаем независимыми, если результат испытания не зависит от номера испытания и от того, что произошло до этого испытания. Однородными испытаниями считаем такие, которые проводятся в одинаковых условиях. Пусть в каждом испытании событие А может произойти с вероятностью р
Cлайд 3
Формула Бернулли Вероятность того, что при n испытаниях событие А наступит к-раз:
Cлайд 4
Схема Бернулли Пример. Вероятность того, что образец бетона при испытании выдержит нормативную нагрузку, равна 0,9. Найти вероятность того, что из 7 образцов 5 выдержат испытания. Решение. По формуле Бернулли
Cлайд 5
Схема Бернулли Асимптотические формулы. 1. Формула Пуассона. Пусть число испытаний n - велико ( n→∞ ) Вероятность р события А – мала ( р→0 ) Причем Тогда при любом фиксированном к Закон редких событий
Cлайд 6
Схема Бернулли Пример 1 . Известно, что при транспортировке 2,5% декоративной плитки повреждается. Определить вероятность того, что в партии из 200 плиток оказалось поврежденными: а) ровно 4 плитки; б) не более 6 плиток. Решение. Вероятность того, что плитка окажется поврежденной, р=0.025 – мала, число испытаний n=200 –велико, причем np=5
Cлайд 7
Схема Бернулли 2. Локальная теорема Муавра-Лапласа. Пусть число испытаний n – велико (n→∞) Вероятность р события А – не очень мала ( 0
Cлайд 8
Схема Бернулли 3. Интегральная теорема Муавра-Лапласа. Пусть число испытаний n – велико (n→∞) Вероятность р события А – не очень мала ( 0
Cлайд 9
Схема Бернулли Пример 2 . Завод изготавливает 80% высоконапорных железобетонных труб первого сорта. Определить вероятность того, что из 100 труб 75 будет первого сорта. Решение. n =100 – велико, р=0,8 –не близко к 0 и к 1. По локальной теореме Муавра –Лапласа:
Cлайд 10
Схема Бернулли Пример 3 . Вероятность поражения цели при одном выстреле равна 0,8. Производится 100 выстрелов. Норматив считается выполненным, если цель будет поражена не менее 75 раз. Определить вероятность выполнения норматива. Решение. По интегральной теореме Муавра-Лапласа:
Cлайд 11
Оценка отклонения относительной частоты от постоянной вероятности Задача. Производится n независимых однородных испытаний. В каждом испытании событие А может наступить с вероятностью р, где 0
Cлайд 12
Оценка отклонения относительной частоты от постоянной вероятности Решение. По интегральной теореме Муавра-Лапласа:
Cлайд 13
Оценка отклонения относительной частоты от постоянной вероятности Тогда Анализ :
Cлайд 14
Случайная величина Определение. Случайной величиной называется числовая величина (числовая функция), значение которой может меняться в зависимости от результата стохастического эксперимента. Обозначения: Пример 1. 1. Число вызовов, поступивших от абонентов на телефонную станцию в течение определенного промежутка времени, является случайным и принимает те или иные значения в зависимости от случайных обстоятельств.
Cлайд 15
Случайная величина Пример 2. Рассмотрим схему Бернулли: последовательность n независимых однородных испытаний, событие А – случайное событие, которое может наступить при каждом испытании. , если при i-ом испытании событие А наступило, и , если оно не наступило. Случайная величина - число наступлений события А в схеме Бернулли.
Cлайд 16
Cлайд 17
Случайная величина Дискретная случайная величина – такая случайная величина, которая может принимать конечное или счетное множество значений. Значения непрерывной случайной величины –принадлежат интервалу (конечному или бесконечному).
Cлайд 18
Случайная величина Пример 3. Рассмотрим схему Бернулли: последовательность n независимых однородных испытаний, А – случайное событие, которое может наступить при каждом испытании. Пусть Х – число наступлений события А. Х={ 0,1,2,…,п } – дискретная случайная величина. Пример 4. Проводятся независимые однородные испытания до первого появления события А. Пусть ξ – функция, равная числу испытаний, проведенных до первого появления события А. ξ={0,1,2,3,…} –дискретная случайная величина. Обзор
Cлайд 19
Случайная величина Пример 5. Случайным образом бросают точку на отрезок [ а,в ]. Х – координата точки попадания. Х є [ а,в] – непрерывная случайная величина. Пример 6. Время работы прибора без поломки μ – непрерывная случайная величина. μ є ( 0, ∞ )
Cлайд 20
Способы задания случайной величины Функция распределения и ее свойства. Определение. Функция , равная вероятности того, что случайная величина примет значение меньше х, называется функцией распределения: Свойства. 1. Область определения F(x): х є (-∞, ∞). 2. Область значений : 0 ≤ F(x) ≤ 1. 3. Функция F(x) – неубывающая: 4. 5. Вероятность попадания в интервал (а,в):
Cлайд 21
Закон распределения дискретной случайной величины Определение. Закон распределения дискретной случайной величины – это соответствие между возможными значениями и вероятностями, с которыми эти значения принимает случайная величина. Способы задания: Таблично Графически Аналитически ξ … Р …
Cлайд 22
Закон распределения дискретной случайной величины Примеры. 1. Биномиальный закон ( в схеме Бернулли): 2. Равномерное распределение ( в классической схеме): 3. Распределение Пуассона:
Cлайд 23
Дискретная случайная величина Основное свойство закона распределения: Функция распределения – кусочно- непрерывная функция. График функции распределения – ступенчатая фигура.
Cлайд 24
Непрерывная случайная величина Определение. Случайная величина ξ называется непрерывной, если ее функция распределения F(x)- непрерывная при всех х и имеет почти всюду производную F'(x)=f(x). В этом случае функция f(x) называется плотностью распределения вероятности. Замечания. В некоторых учебниках такие случайные величины называют абсолютно непрерывными. Если F(x)- непрерывная и не дифференцируемая функция, то в этом случае случайную величину называют сингулярной.
Cлайд 25
Свойства плотности распределения 1. 2. 3. 4.
Cлайд 26
Непрерывная случайная величина Пример. Случайным образом бросают точку на отрезок [ 0,1 ]. ξ– координата точки попадания. Найти функцию распределения F(x) и плотность f(x). Решение. Из определения: Обзор
Cлайд 27
Непрерывная случайная величина 1 1 0
Cлайд 28
Числовые характеристики случайных величин Математическое ожидание. Определение. Математическим ожиданием дискретной случайной величины ξ называется число, равное
Cлайд 29
Числовые характеристики случайных величин Математическим ожиданием непрерывной случайной величины ξ называется число, равное
Cлайд 30
Числовые характеристики случайных величин Свойства математического ожидания. 1. 2. 3. 4.
Cлайд 31
Числовые характеристики случайных величин Пример 1. Случайным образом бросают точку на отрезок [ 0,1 ]. ξ– координата точки попадания. Найти математическое ожидание Решение. Из определения:
Cлайд 32
Числовые характеристики случайных величин Дисперсия случайной величины. Определение. Дисперсией случайной величины ξ называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:
Cлайд 33
Числовые характеристики случайных величин Свойства дисперсии. 1. 2. 3. 4. Следствие.
Cлайд 34
Числовые характеристики случайных величин Доказательство.
Cлайд 35
Числовые характеристики случайных величин Среднеквадратическое отклонение случайной величины. Определение. Среднеквадратическим отклонением случайной величины ξ называется число Свойства. 1. 2.
Cлайд 36
Числовые характеристики случайных величин Пример 2. Случайным образом бросают точку на отрезок [ 0,1 ]. ξ– координата точки попадания. Найти дисперсию и среднеквадратическое отклонение. Решение. Из формулы:
Cлайд 37
Обзор стандартных распределений
Cлайд 38
Обзор стандартных распределений
Cлайд 39
Биномиальное распределение ξ=(число «успехов» при n испытаниях в схеме Бернулли). Закон распределения: Пример
Cлайд 40
Распределение Пуассона ξ=(0,1,2,…,n,…) Закон распределения:
Cлайд 41
Геометрическое распределение ξ=(0,1,2,…,n,…) Закон распределения: Пример
Cлайд 42
Равномерное распределение Плотность распределения: Функция распределения: 1 b b a a Пример
Cлайд 43
Показательное распределение Плотность распределения: Функция распределения: 0 1 0
Cлайд 44
Нормальное распределение Определение. Непрерывная случайная величина ξ имеет нормальное распределение с параметрами a и σ, если плотность распределения Вероятностный смысл параметров:
Cлайд 45
Нормальное распределение График плотности распределения. Нормированное распределение. Кривая Гаусса х
Cлайд 46
Нормальное распределение Функция распределения.
Cлайд 47
Нормальное распределение Вероятность попадания в интервал. Следствие: (вероятность отклонения ξ от а не более чем на ε)
Cлайд 48
Нормальное распределение Правило «3σ». Практически достоверно, что
Cлайд 49
Нормальное распределение Пример. Отклонение длины изготавливаемой детали от стандарта - случайная величина, распределенная по нормальному закону. Если стандартная длина – 40 см, а среднеквадратическое отклонение – 0,4 см, то какое отклонение длины изделия от стандарта можно ожидать с вероятностью 0,8 ? Решение.
Cлайд 50
Функции случайного аргумента Определение. Если любому значению случайной величины Х соответствует одно возможное значение случайной величины Y, то говорят что Y – функция случайного аргумента Х: Пример. Х – случайная величина. Y=X² или Y = (Х-а)² -функции от Х.
Cлайд 51
Функции случайного аргумента
Cлайд 52
Функции случайного аргумента Пример 1. Y=Х² 0 1 4 9 p 0,3 0,2 0,1 0,4 Х 0 1 2 3 p 0,3 0,2 0,1 0,4
Cлайд 53
Функции случайного аргумента Пример 2. Y=Х² 0 1 4 9 p 0,3 0,4 0,2 0,1 X -2 -1 0 1 2 3 p 0,1 0,2 0,3 0,2 0,1 0,1
Cлайд 54
Системы случайных величин В случае, когда результат стохастического эксперимента определяется несколькими случайными величинами, то говорят, что имеется система случайных величин: Примеры. 1. Заготовка имеет 3 размера – длину, ширину и высоту – случайные величины: 2. при моделировании бюджета одной семьи затраты – случайный вектор: на питание, на одежду, обувь, на транспорт, духовные потребности. - (случайный вектор), - компоненты
Cлайд 55
Системы случайных величин Двумерные случайные величины Дискретные - закон распределения X Y y1 y2 …. ym x1 p11 p12 …. p1m x2 p21 p22 …. p2m …. …. …. …. …. xn pn1 pn2 …. pnm
Cлайд 56
Системы случайных величин Непрерывные - функция распределения - вероятность попадания в бесконечный угол x y (x,y) Свойства 1. 2. 3. не убывает по каждому аргументу
Cлайд 57
Системы случайных величин Плотность распределения вероятностей случайного вектора. Определение. Плотностью распределения случайного вектора называют Свойства плотности 1. 2. 3. 4.
Cлайд 58
Системы случайных величин Зависимость случайных величин. Случайный вектор ; - плотность, - функция распределения. Определение. Случайные величины Х и Y (компоненты случайного вектора) называются независимыми, если Следствия. 1. 2. для независимых случайных величин
Cлайд 59
Системы случайных величин Ковариация. Коэффициент корреляции. Определение 1. Ковариацией случайных величин X и Y называют число Определение 2. Коэффициентом корреляции случайных величин X и Y называют число
Cлайд 60
Системы случайных величин Свойства. 1. Если X и Y – независимые случайные величины, то 2. 3. Если X и Y – линейно зависимые, то есть , то [обратное неверно]
Cлайд 61
Моменты случайной величины Определение 1. Начальным моментом случайной величины Х порядка n называют математическое ожидание : Определение 2. Центральным моментом случайной величины Х порядка n называют математическое ожидание :
Cлайд 62
Моменты случайной величины Определение 3. Абсолютным центральным моментом случайной величины Х порядка n называют математическое ожидание : Частные случаи: 1) М(Х)=а – начальный момент 1-го порядка ; 2) М((Х-а))=0 – центральный момент 1-го порядка; 3) М((Х-а)²)=D(X ) – центральный момент 2-го порядка.
Cлайд 63
Cлайд 64
Неравенство Чебышева Пусть Х – случайная величина; Следствие: Чем меньше дисперсия случайной величины Х, тем меньше вероятность отклонения Х от а на большую величину. Правило «3σ» (для любой случайной величины):
Cлайд 65
Закон больших чисел Определение. Последовательность случайных величин сходится по вероятности к случайной величине Х, если Обозначение:
Cлайд 66
Закон больших чисел Теорема Чебышева. Пусть - попарно независимые случайные величины; Среднее арифметическое независимых случайных величин при n – больших - неслучайная величина.
Cлайд 67
Закон больших чисел Теорема Хинчина (1929 г.). Пусть - независимые случайные величины, Тогда При достаточно большом числе независимых опытов среднее арифметическое наблюденных значений случайной величины сходится по вероятности к ее математическому ожиданию. Практический смысл: при измерении физической величины в качестве точного значения берут среднее арифметическое нескольких измерений.
Cлайд 68
Центральная предельная теорема Теорема. Пусть - независимые случайные величины, имеющие один и тот же закон распределения с математическим ожиданием а и дисперсией σ² . Пусть - нормированные случайные величины. Тогда то есть
Cлайд 69
Центральная предельная теорема Теорема Ляпунова (1901 г.). Пусть - независимые случайные величины, имеющие конечный третий абсолютный центральный момент . Пусть Тогда , если , то и
Cлайд 70
Центральная предельная теорема Распределение - асимптотически нормально с параметрами Вклад каждой отдельной случайной величины в общую сумму – малый.
Cлайд 71
Центральная предельная теорема Следствие: нормальный закон занимает особое место в теории ошибок измерений. Ошибку измерения можно рассматривать как сумму большого числа независимых слагаемых, каждое из которых дает малый вклад в общую сумму. Распределение ошибки измерений близко к нормальному закону. Замечание (Липман). Каждый уверен в справедливости закона ошибок: Экспериментаторы – потому что они думают, что это математическая теорема, Математики – потому что они думают, что это экспериментальный факт.
Cлайд 72
Центральная предельная теорема Пример. В геодезии причинами возникновения ошибок являются влияние внешних условий неточности изготовления и юстировки приборов неточности выполнения измерений наблюдателем При измерении горизонтального направления многократное преломление лучей неравномерное освещение объекта неустойчивость сигнала вращение прибора вследствие нагревания солнцем («кручение») неустойчивость теодолита температурные и другие изменения в приборе ошибки юстировки ошибки разделения горизонтального круга личные ошибки наблюдателя и т.д. Опыт подтверждает - распределение ошибки измерений близко к нормальному закону.
