X
Код презентации скопируйте его
Векторная алгебра
Скачать эту презентацию
Презентация на тему Векторная алгебра
Скачать эту презентациюCлайд 1
Векторная алгебра Термин вектор (от лат. Vector -“несущий “) впервые появился в 1845 г. у ирландского математика Уильяма Гамильтона Уи льям Ро уэн Га мильтон 1805 — 1865 выдающийся ирландский математик и физик XIX века.
Cлайд 2
Длиной или модулем вектора называется длина отрезка АВ Отрезок, для которого указано, какая из его граничных точек считается началом, а какая – концом, называется направленным отрезком или вектором Начало вектора Конец вектора § 1. Определение вектора.
Cлайд 3
Любая точка плоскости также является вектором. В этом случае вектор называется нулевым Длина нулевого считается равной нулю Начало нулевого вектора совпадает с его концом, поэтому нулевой вектор не имеет какого-либо определенного направления. Иначе говоря, любое направление можно считать направлением нулевого вектора. § 1. Определение вектора. «Геометрия 7-9» Л.С. Атанасян и др.
Cлайд 4
Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Коллинеарные, сонаправленные векторы Нулевой вектор считается коллинеарным, сонаправленным с любым вектором. § 1. Определение вектора. «Геометрия 7-9» Л.С. Атанасян и др.
Cлайд 5
Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Коллинеарные, противоположно направленные векторы § 1. Определение вектора. «Геометрия 7-9» Л.С. Атанасян и др.
Cлайд 6
Векторы называются компланарными, если при откладывании их от одной и той же точки они будут лежать в одной плоскости. Другими словами, векторы называются компланарными, если имеются равные им векторы, лежащие в одной плоскости. Любые два вектора компланарны. § 1. Определение вектора. «Геометрия 10-11» Л.С. Атанасян и др.
Cлайд 7
Три вектора, среди которых имеются два коллинеарных, также компланарны. § 1. Определение вектора. «Геометрия 10-11» Л.С. Атанасян и др.
Cлайд 8
Три произвольных вектора могут быть как компланарными, так и не компланарными. А О Е D C В B1 § 1. Определение вектора. «Геометрия 10-11» Л.С. Атанасян и др.
Cлайд 9
Векторы называются равными, если они сонаправлены и их длины равны. 1 2 § 1. Определение вектора. «Геометрия 7-9» Л.С. Атанасян и др.
Cлайд 10
Векторы называются противоположными, если они противонаправлены и их длины равны. § 1. Определение вектора. 1 2 «Геометрия 7-9» Л.С. Атанасян и др.
Cлайд 11
Если точка А – начало вектора , то говорят, что вектор отложен от точки А От любой точки М можно отложить вектор, равный данному вектору , и притом только один. § 1. Определение вектора. Если точка А – начало вектора , то говорят, что вектор отложен от точки А § 1. Определение вектора. От любой точки М можно отложить вектор, равный данному вектору , и притом только один. Если точка А – начало вектора , то говорят, что вектор отложен от точки А § 1. Определение вектора. От любой точки М можно отложить вектор, равный данному вектору , и притом только один. Если точка А – начало вектора , то говорят, что вектор отложен от точки А § 1. Определение вектора. От любой точки М можно отложить вектор, равный данному вектору , и притом только один. От любой точки М можно отложить вектор, равный данному вектору , и притом только один. Если точка А – начало вектора , то говорят, что вектор отложен от точки А От любой точки М можно отложить вектор, равный данному вектору , и притом только один. А a a Вектор отложен от точки А М a a c = c a c a = «Геометрия 7-9» Л.С. Атанасян и др.
Cлайд 12
Угол между векторами a О Углом α между векторами называется наименьший угол, образуемый векторами при совмещении их начал. § 1. Определение вектора.
Cлайд 13
Два вектора называются ортогональными, если угол между ними равен 900. Для коллинеарных векторов или § 1. Определение вектора.
Cлайд 14
С Сложение векторов. Правило треугольника. § 2. Действия над векторами.
Cлайд 15
Сложение векторов. Правило многоугольника. § 2. Действия над векторами.
Cлайд 16
Сложение векторов. Правило параллелограмма. А В D C § 2. Действия над векторами.
Cлайд 17
Сложим первые две силы F1 и F2 (аксиома параллелограмма). Количество сил уменьшилось на единицу. Сложим полученную равнодействующую R12 со следующей силой F3. Количество сил вновь уменьшилось на единицу. Повторим эту же операцию со следующей силой F4. Осталась всего одна сила, эквивалентная исходной системе сил. Сложение сил построением параллелограммов можно заменить построением силового треугольника – выбирается одна из сил или изображается параллельно самой себе с началом в любой произвольной точке, все другие силы изображаются параллельными самим себе с началом, совпадающим с концом предыдущей силы. Результатом такого сложения является вектор, направленный из начала первой силы к концу последней из сил. § 2. Действия над векторами.
Cлайд 18
Правило параллелепипеда. b § 2. Действия над векторами. «Геометрия 10-11» Л.С. Атанасян и др.
Cлайд 19
Вычитание векторов § 2. Действия над векторами.
Cлайд 20
§ 2. Действия над векторами. Умножение вектора на число Произведением вектора на число α называется вектор, такой что:
Cлайд 21
§ 2. Действия над векторами. Умножение вектора на число Произведением вектора на число α называется вектор, такой что:
Cлайд 22
§ 2. Действия над векторами. Умножение вектора на число
Cлайд 23
§ 2. Действия над векторами. В C D А А1 D1 С1
Cлайд 24
§ 2. Действия над векторами. В C D А А1 D1 С1 В1
Cлайд 25
§ 2. Действия над векторами. В C А А1 D1 С1 В1
Cлайд 26
§ 3. Линейная зависимость векторов Определение 1. Линейной комбинацией векторов называется вектор где λi – некоторые числа. Определение 2. Вектора называются линейно зависимыми, если существуют действительные числа λi , такие, что хотя бы одно из них отлично от нуля, и при этом выполняется равенство: Определение 2. Вектора называются линейно независимыми, если из условия следует тривиальная комбинация
Cлайд 27
§ 3. Линейная зависимость векторов Теорема 1. Для линейной зависимости векторов необходимо и достаточно, чтобы один из них был линейной комбинацией остальных. Доказательство. Необходимость. Пусть вектора линейно зависимы. Тогда существуют числа λi, не равные нулю одновременно, такие, что Пусть λ1 ≠0, тогда что доказывает необходимость. Достаточность. Пусть для определенности Тогда причем Это и есть условие линейной зависимости.
Cлайд 28
§ 3. Линейная зависимость векторов Для линейно зависимых векторов справедливы теоремы 2–6. Теорема 2. Один вектор линейно зависим тогда и только тогда, когда он нулевой. Теорема 3. Два вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они коллинеарны. Теорема 4. Три вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они компланарны. Доказательство. Необходимость. Пусть три вектора линейно зависимы. Тогда существуют не равные одновременно нулю три числа , такие, что Тогда по теореме 1 один из векторов есть линейная комбинация двух остальных, и, значит, данные три вектора компланарны.
Cлайд 29
§ 3. Линейная зависимость векторов Достаточность. Пусть компланарны, и пусть вектора неколлинеарны. из чего вытекает (вследствие теоремы 1) линейная зависимость векторов
Cлайд 30
§ 3. Линейная зависимость векторов Теорема 5. Любые четыре вектора в пространстве линейно зависимы. Действительно, можно подобрать, причем единственным образом, такие числа что будет Теорема 6. Если среди векторов имеется хотя бы один нулевой вектор, то вектора линейно зависимы.
Cлайд 31
§ 3. Линейная зависимость векторов Свойства линейно независимых векторов: Один вектор линейно независим тогда и только тогда, когда он ненулевой. Два вектора линейно независимы тогда и только тогда, когда они неколлинеарны. Три вектора линейно независимы тогда и только тогда, когда они некомпланарны.
Cлайд 32
§ 4. Базис. Координаты вектора в базисе. Определение 1. Базисом на прямой называется любой ненулевой вектор, принадлежащий этой прямой. Определение 2. Базисом на плоскости называется любая пара линейно независимых векторов, лежащих на этой плоскости. Определение 3. Базисом в пространстве называется любая тройка линейно независимых векторов. Будем обозначать базис в пространстве, составленный из линейно независимых векторов, как .
Cлайд 33
§ 4. Базис. Координаты вектора в базисе. Определение 4. Базис называется ортогональным, если образующие его вектора попарно перпендикулярны. Определение 5. Ортогональный базис называется ортонормированным, если образующие его вектора имеют единичную длину.
Cлайд 34
§ 4. Базис. Координаты вектора в базисе. Теорема 1. Любой вектор в пространстве с базисом может быть представлен, и причем единственным способом, в виде где α, β, γ – некоторые числа. Доказательство. Докажем вначале, что такие числа существуют. и в силу коллинеарности и в силу коллинеарности Следовательно, и Докажем единственность разложения по данному базису. Но это условие и означает, что вектора являются линейно зависимыми и не могут образовывать базис. Это, в свою очередь, доказывает единственность разложения. Пусть
Cлайд 35
§ 4. Базис. Координаты вектора в базисе. Определение 6. Числа в разложении называются координатами вектора в базисе . Координаты – величины скалярные. Для краткой записи вектора в координатном представлении будем использовать следующую форму: т. е. каждому вектору в данном базисе можно поставить во взаимно однозначное соответствие матрицу-строку.
Cлайд 36
§ 5. Действия с векторами в координатном представлении. В каждом конкретном базисе каждый вектор находится во взаимно-однозначном соответствии с упорядоченной тройкой чисел – своими координатами. Возникает вопрос о том, как выполнять операции с векторами в координатном представлении. С другой стороны, ранее были изучены матрицы и операции над ними, и целесообразно было бы свести операции с векторами в координатном представлении к матричным операциям. Теорема 1. Два вектора и равны тогда и только тогда, когда равны матрицы координат
Cлайд 37
Теорема 2. Пусть в некотором базисе даны два вектора и Тогда в этом базисе Иными словами: при умножении вектора на число его координаты умножаются на это число; при сложении векторов складываются их соответствующие координаты. § 5. Действия с векторами в координатном представлении.
Cлайд 38
Теорема 3. Два вектора и на плоскости линейно зависимы тогда и только тогда, когда их соответствующие координаты в некотором базисе пропорциональны, т. е. Доказательство. Необходимость. Пусть вектора и линейно зависимы, тогда по теореме 3.1 или в координатной форме Исключив λ из этих уравнений, получаем что и означает равенство нулю определителя. Достаточность. Пусть Тогда откуда Таким образом, вектора и пропорциональны, а, значит, и линейно зависимы. § 5. Действия с векторами в координатном представлении.
Cлайд 39
Теорема 4. Три вектора в пространстве линейно зависимы тогда и только тогда, когда и Следствие. Равенства и соответственно являются необходимыми и достаточными условиями коллинеарности пары векторов на плоскости и компланарности тройки векторов в пространстве. § 5. Действия с векторами в координатном представлении.
Cлайд 40
Пример 1. Показать, что вектора образуют базис в трехмерном пространстве. Решение. Вычислим определитель, столбцы которого представляют координаты векторов: Так как определитель отличен от нуля, то столбцы линейно независимы, т. е. указанные вектора образуют базис. § 5. Действия с векторами в координатном представлении.
Cлайд 41
Пример 2. Разложить вектор по базису где Решение. Разложим вектор по базису с неопределенными коэффициентами В координатах это разложение представляет собой систему трех уравнений относительно Имеем: откуда по правилу Крамера Ответ: § 5. Действия с векторами в координатном представлении.
Cлайд 42
§ 6. Декартова система координат. Определение 1. Совокупность базиса и точки О, в которую помещены начала всех базисных векторов, называется декартовой системой координат и обозначается Определение 2. Система координат состоящая из ортонормированного ортогонального базиса и точки О, называется прямоугольной декартовой системой координат. x y z O Ох – ось абсцисс Оу – ось ординат Оz – ось аппликат
Cлайд 43
§ 6. Декартова система координат. Рене Дека рт 1596 — 1650, — французский математик,, создатель аналитической геометрии и современной алгебраической символики, Декарт ввел математическую символику, близкую к современной. Коэффициенты он обозначал a, b, c…, а неизвестные — x, y, z. Натуральный показатель степени принял современный вид. Появилась черта над подкоренным выражением. Родился в городе Лаэ (ныне г. Декарт).
Cлайд 44
§ 6. Декартова система координат. Определение. Упорядоченная тройка ортов называется правой, если при совмещении начал векторов кратчайший поворот первого вектора ко второму с конца третьего вектора наблюдается против часовой стрелки. Определение. Упорядоченная тройка ортов называется левой, если при совмещении начал векторов кратчайший поворот первого вектора ко второму с конца третьего вектора наблюдается по часовой стрелки.
Cлайд 45
§ 6. Декартова система координат. Если задана система координат то произвольной точке М в пространстве можно поставить во взаимно однозначное соответствие вектор начало которого находится в точке О, а конец в точке М. Определение 3. Вектор называется радиус-вектором точки М в системе координат Определение 4. Координаты радиус-вектора точки М называются координатами точки М в системе координат
Cлайд 46
A(-1; 3;-6) B(-2;-3; 4) y x z I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I O C( 3;-2; 6) § 6. Декартова система координат.
Cлайд 47
x z y {x2-x1; y2-y1; z2-z1} § 6. Декартова система координат.
Cлайд 48
§ 6. Декартова система координат. Задача 2 (условие коллинеарности двух векторов в координатной форме). Пусть два вектора и коллинеарны. т. е. откуда или – условие коллинеарности двух векторов. Если два вектора коллинеарны, то их координаты пропорциональны. Тогда по теореме 3.1 существует такое число λ, при котором
Cлайд 49
Пример 1. Коллинеарны ли вектора 6 6 18 -9 § 6. Декартова система координат. = 3 или
Cлайд 50
§ 6. Декартова система координат. Пример 2. В декартовой системе координат A(1,3,0), B(2,0,-1), C(3,-3,-2). Доказать, что точки A, B, C лежат на одной прямой. Решение Очевидно, точки A, B, C лежат на одной прямой, если векторы и коллинеарны. Для этого необходимо выполнение условия: . Отсюда следует (теорема 5.2), что координаты векторов и должны быть пропорциональны. Таким образом, точки A, B, C лежат на одной прямой.
Cлайд 51
§ 6. Декартова система координат. Задача 3 (деление отрезка в данном отношении). В декартовой системе координат заданы точки Найти координаты точки M(x,y,z), делящей отрезок AB в отношении λ: Векторы Решение и коллинеарны, сонаправлены, отношение их длин равно λ. Тогда Переходя к равенству соответствующих координат, получим: Выражая отсюда x,y,z, получим для координат точки M:
Cлайд 52
A(x1;y1;z1) x z y B(x2;y2;z2) В частности, координаты середины отрезка (λ=1) равны полусумме соответствующих координат его концов. § 6. Декартова система координат.
Cлайд 53
§ 6. Декартова система координат. Пример. Разделить отрезок АВ ( А(3,5; 1), B(2; 2)) на три равные части. Решение
Cлайд 54
§ 7. Проекция вектора на ось. Пусть вектор лежит на некоторой оси l . Направление орта соответствует направлению оси. l Определение 1. Проекцией вектора, лежащего на оси, на эту ось называется число, по абсолютной величине равное длине вектора и взятое со знаком плюс, если направление вектора совпадает с направлением оси и со знаком минус, если они противоположны. Пусть вектор не лежит на некоторой оси l . Из точек А и B опустим перпендикуляры на ось. Вектор называется компонентой вектора по оси l . Определение 2. Проекцией вектора, не лежащего на оси l, на эту ось называется проекция его компоненты по оси l на эту же ось. Проекция вектора на ось обычно обозначается так:
Cлайд 55
§ 7. Проекция вектора на ось. Свойства проекций вектора на ось: 1. Проекция вектора на ось равна произведению длины вектора на косинус угла между вектором и осью: где θ – угол между вектором и осью. 2. Проекция суммы векторов на ось равна сумме проекций этих векторов на эту же ось, т. е. . 3. Проекция на ось вектора, умноженного на число, равна произведению проекции вектора на это число, т. е. 4. Проекции на ось двух равных векторов равны между собой.
Cлайд 56
x z y § 7. Проекция вектора на ось. Рассмотрим теперь вопрос о разложении вектора по координатным осям. Такое представление вектора называется разложением его на компоненты (или составляющие) по координатным осям.
Cлайд 57
x z y Вычисление длины вектора по его координатам OA2= OA12 + OA22 + OA32 По правилу параллелепипеда = = = Длина вектора равна квадратному корню из суммы квадратов его координат. + + y z x = 2 2 2 OA3 = zk OA1 = xi OA 2= OA1 2 + OA2 2 + OA3 2 a a {x;y;z} x OA2 = y j z y = + + 2 2 2 2 О A A3
Cлайд 58
x z y Направляющие косинусы вектора. α β γ Если – проекции вектора на координатные оси, то ясно, что имеют место формулы: аx;аy;аz
Cлайд 59
§ 7. Проекция вектора на ось. Пример 1. Даны точки A(1, –1, 2) и B(3, 2, 3). Найти: Найти: Найти: Найти: Найти: Координаты вектора Длину вектора Так как значит Направляющие косинусы вектора Разложение вектора по базису; Так как значит Единичный вектор (орт), соответствующий вектору Так как значит
Cлайд 60
В § 7. Проекция вектора на ось. Пример 2. Дан вектор и точки В(1, 2, -1) и С(2, 2, 5). Найти координаты вектора Решение Найдем координаты вектора
Cлайд 61
§ 7. Проекция вектора на ось. Пример 3. Выяснить, при каких значениях параметров вектора Решение Два вектора коллинеарны, если существует некая константа c такая, что имеет место соотношение Отсюда следует, что откуда Так как орты линейно независимы, ибо они представляют собою базис, то должны обращаться в нуль коэффициенты этой линейной комбинации, т. е. откуда и коллинеарны.
Cлайд 62
Скалярным произведением двух ненулевых векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними. § 8. Скалярное произведение векторов. Если хотя бы один из векторов равен нулю, то скалярное произведение этих векторов равно нулю (по определению). Скалярное произведение векторов – число (скаляр). Скаляр – лат. scale – лестница, шкала. Ввел в 1845г. У. Гамильтон, ирландский математик.
Cлайд 63
cos 900 = 0 0 Û Скалярное произведение ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны. § 8. Скалярное произведение векторов.
Cлайд 64
cos Скалярное произведение ненулевых векторов положительно тогда и только тогда , когда угол между векторами острый. Û a > 0 > 0 § 8. Скалярное произведение векторов.
Cлайд 65
cos Скалярное произведение ненулевых векторов отрицательно тогда и только тогда , когда угол между векторами тупой. Û a < 0 § 8. Скалярное произведение векторов. = a b < 0 > 900 > 900
Cлайд 66
cos 00 cos1800 § 8. Скалярное произведение векторов. = = a b = 00 Если = a b = 1800 Если = –
Cлайд 67
cos 00 Таким образом, § 8. Скалярное произведение векторов. откуда Длина вектора равен квадратному корню из его скалярного квадрата.
Cлайд 68
§ 8. Скалярное произведение векторов. Свойства скалярного произведения: Действительно, Отсюда следует формула для нахождения проекции одного вектора на другой: тогда 2) Переместительное или коммутативное свойство: 3) Сочетательное (ассоциативное) свойство: 4) Распределительное (дистрибутивное) свойство относительного сложения векторов:
Cлайд 69
§ 8. Скалярное произведение векторов. . Выведем формулу скалярного произведения в координатной форме. т.к. В частности,
Cлайд 70
§ 8. Скалярное произведение векторов.
Cлайд 71
§ 8. Скалярное произведение векторов. Скалярное произведение двух векторов позволяет решить следующие задачи векторной алгебры: Нахождение угла между двумя векторами. Отсюда нетрудно получить условие ортогональности (перпендикулярности) двух векторов в координатной форме:
Cлайд 72
§ 8. Скалярное произведение векторов. Пример 1. Даны вершины треугольника: A(2; –1; 3), B(1; 1; 1), C(0; 0; 5). Найти Решение
Cлайд 73
§ 8. Скалярное произведение векторов. 2. Нахождение проекции одного вектора на направление другого Пример 2. Даны три точки A(2; 3; 5), B(1; 2; 2), C(3; 5; 4). Найти Решение
Cлайд 74
§ 8. Скалярное произведение векторов. 3. Нахождение длины вектора. Пример 3. Дан вектор Найти длину вектора Решение Найдем скалярный квадрат вектора
Cлайд 75
§ 8. Скалярное произведение векторов. Определить длины диагоналей параллелограмма, построенного на векторах и где угол между которыми равен 60°. – единичные векторы, Решение
Cлайд 76
§ 8. Скалярное произведение векторов. 4) Доказательство ортогональности векторов Пример 5. При каком значении α ортогональны вектора и Решение Принимая во внимание условие ортогональности двух векторов получим 5) Задачи с механическим содержанием Пример 6. Даны три постоянные силы приложенные в одной точке. Найти работу равнодействующей этих сил на прямолинейном перемещении из положения М1(4,4,6) в положение М2(7,5,2). Равнодействующая сила Вектор перемещения Искомая работа Решение
Cлайд 77
Векторным произведением двух ненулевых векторов называется вектор , § 9. Векторное произведение векторов. Введем еще одну операцию над векторами. Эта операция существует только в трехмерном векторном пространстве, на плоскости она не определена. удовлетворяющий трем требованиям: 1) 2) 3) Тройка векторов является правой.
Cлайд 78
§ 9. Векторное произведение векторов.
Cлайд 79
§ 9. Векторное произведение векторов. Геометрический смысл векторного произведения. Для неколлинеарных векторов модуль их векторного произведения равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах.
Cлайд 80
§ 9. Векторное произведение векторов. Свойства векторного произведения: Свойство очевидно, так как синус – функция нечетная. 2) Свойство сочетательности относительно скалярного множителя: 3) Распределительное свойство относительно сложения векторов:
Cлайд 81
sin 00 § 8. Векторное произведение векторов. Признак коллинеарности векторов: Для того чтобы два ненулевых вектора были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы их векторное произведение было бы равно нулю. Если вектора коллинеарные, то В частности, имеем для ортов:
Cлайд 82
§ 9. Векторное произведение векторов. Рассмотрим векторные произведения различных ортов. Очевидно, что векторное произведения двух различных ортов будет равно третьему орту, взятому: со знаком + , если тройка ортов правая; со знаком – , если тройка ортов левая. Тогда Если векторы правой тройки изменять непрерывно, то в любой момент такой деформации эта тройка векторов будет оставаться правой тройкой. Если векторы левой тройки изменять непрерывно, то в любой момент такой деформации эта тройка векторов будет оставаться левой тройкой. Тогда
Cлайд 83
§ 9. Векторное произведение векторов. Выразим теперь векторное произведение через координаты векторов, его составляющих.
Cлайд 84
§ 9. Векторное произведение векторов. Векторное произведение имеет простую механическую интерпретацию. Если сила поворачивает тело вокруг оси то момент силы относительно т. О, равен
Cлайд 85
§ 9. Векторное произведение векторов. Векторное произведение двух векторов позволяет решить следующие задачи векторной алгебры. 1) Нахождение площади параллелограмма и треугольника
Cлайд 86
§ 9. Векторное произведение векторов. Пример 1. Найти площадь треугольника с вершинами в точках Решение
Cлайд 87
§ 9. Векторное произведение векторов. Пример 2. Найти площадь треугольника, построенного на векторах Решение
Cлайд 88
§ 9. Векторное произведение векторов. 2) Нахождение векторов, перпендикулярных данной плоскости Пример 3. Найти единичный вектор, перпендикулярный к плоскости, в которой лежат точки Решение В силу определения векторного произведения векторов Поставленной задаче удовлетворяют два единичных вектора
Cлайд 89
§ 9. Векторное произведение векторов. 3) Доказательство коллинеарности векторов Решение Условие коллинеарности: т. е. вектора неколлинеарны. 4) Задачи механического содержания Решение
Cлайд 90
§ 10. Смешанное произведение векторов. Определение 1. Смешанным произведением ненулевых векторов называется скалярное произведение вектора и векторного произведения вектора на вектор , т. е. выражение Свойства смешанного произведения: 1) Смешанное произведение не меняется при циклической перестановке перемножаемых векторов. 2) При перестановке двух соседних векторов модуль смешанного произведения не меняется, а знак меняется на противоположный, т. к. тройка меняет свою ориентацию. т.е. порядок знаков умножения не важен. Поэтому принято смешанное произведение обозначать
Cлайд 91
§ 10. Смешанное произведение векторов. Выразим теперь смешанное произведение через координаты векторов, его составляющих. или
Cлайд 92
§ 10. Смешанное произведение векторов. Теорема 1. Смешанное произведение векторов равно нулю тогда и только тогда, когда вектора компланарны. Доказательство. Необходимость. Возможны два случая. т.е. вектора коллинеарны, а три вектора, два из которых коллинеарны, всегда компланарны. Тогда но Это значит, что три вектора лежат в одной плоскости.
Cлайд 93
§ 10. Смешанное произведение векторов. Достаточность. - компланарны. Тогда их можно поместить в одной плоскости. Вектор перпендикулярен плоскости, а, следовательно, и Тогда по правилам скалярного произведения
Cлайд 94
§ 10. Смешанное произведение векторов. Установим геометрический смысл смешанного произведения векторов. Теорема 2. Смешанное произведение некомпланарных векторов равно объему параллелепипеда, сторонами которого служат эти вектора, взятому со знаком +, если тройка векторов правая, и со знаком - , если тройка левая. Доказательство. В А D Но тогда
Cлайд 95
§ 10. Смешанное произведение векторов. Смешанное произведение трех векторов позволяет решить cледующие задачи векторной алгебры: 1) Доказательство компланарности (линейной зависимости) трех векторов Пример 1. Показать, что точки А(1, 2, 1), В(3, 3, 3), С(4, 1, 2) и D(5, 4, 5) лежат в одной плоскости. Решение А B C D Если точки А, В, С и D лежат в одной плоскости, то и вектора лежат в одной плоскости, а тогда смешанное произведение этих векторов равно нулю. Следовательно, точки лежат в одной плоскости.
Cлайд 96
§ 10. Смешанное произведение векторов. Решение т. е. существуют константы λ, μ и ν такие, что Следовательно, векторы компланарны, а значит, они линейно зависимы, Данная система имеет бесчисленное множество решений. откуда получим искомую линейную зависимость:
Cлайд 97
§ 10. Смешанное произведение векторов. 2) Нахождение объема параллелепипеда и тетраэдра В А D С S
Cлайд 98
§ 10. Смешанное произведение векторов. Пример 3. В пирамиде АВСD найти высоту, опущенную из вершины A, если в прямоугольной декартовой системе координат Решение B E A C D Знак «–» показывает, что тройка векторов левая.
