X
Код презентации скопируйте его
Электростатика
Скачать эту презентацию
Презентация на тему Электростатика
Скачать эту презентациюCлайд 1
Кузнецов Сергей Иванович доцент кафедры ОФ ЕНМФ ТПУ Электростатика
Cлайд 2
2.1. Силовые линии электростатического поля 2.2. Поток вектора напряженности 2.3. Теорема Остроградского-Гаусса 2.4. Дифференциальная форма теоремы Остроградского-Гаусса 2.5. Вычисление электростатических полей с помощью теоремы Остроградского-Гаусса 2.5.1. Поле бесконечной однородно заряженной плоскости 2.5.2. Поле двух равномерно заряженных плоскостей 2.5.3. Поле заряженного бесконечного цилиндра (нити) 2.5.4. Поле двух коаксиальных цилиндров с одинаковой линейной плотностью заряда, но разным знаком 2.5.5. Поле заряженного пустотелого шара 2.5.6. Поле объемного заряженного шара Тема 2. ТЕОРЕМА ОСТРОГРАДСКОГО-ГАУССА 2.1. Силовые линии электростатического поля 2.2. Поток вектора напряженности 2.3. Теорема Остроградского-Гаусса 2.4. Дифференциальная форма теоремы Остроградского-Гаусса 2.5. Вычисление электростатических полей с помощью теоремы Остроградского - Гаусса 2.5.1. Поле бесконечной однородно заряженной плоскости 2.5.2. Поле двух равномерно заряженных плоскостей 2.5.3. Поле заряженного бесконечного цилиндра (нити) 2.5.4. Поле двух коаксиальных цилиндров с одинаковой линейной плотностью заряда, но разным знаком 2.5.5. Поле заряженного пустотелого шара 2.5.6. Поле объемного заряженного шара
Cлайд 3
2.1. Силовые линии электростатического поля Теорема Остроградского-Гаусса, которую мы докажем и обсудим позже, устанавливает связь между электрическими зарядами и электрическим полем. Она представляет собой более общую и более изящную формулировку закона Кулона.
Cлайд 4
Остроградский Михаил Васильевич (1801 – 1862) отечественный математик и механик. Учился в Харьковском ун-те (1816 – 1820), совершенствовал знания в Париже (1822 – 1827). Основные работы в области математического анализа, математической физики, теоретической механики. Решил ряд важных задач гидродинамики, теории теплоты, упругости, баллистики, электростатики, в частности задачу распространения волн на поверхности жидкости (1826 г.). Получил дифференциальное уравнение распространения тепла в твердых телах и жидкостях. Известен тео ремой Остроградского-Гаусса в электро статике (1828 г.).
Cлайд 5
Гаусс Карл Фридрих (1777 – 1855) немецкий математик, астроном и физик. Исследования посвящены многим разделам физики. В 1832 г. создал абсолютную систему мер (СГС), введя три основных единицы: единицу времени – 1 с, единицу длины – 1 мм, единицу массы – 1 мг. В 1833 г. совмест но с В. Вебером построил первый в Герма нии электромагнитный телеграф. Еще в 1845 г. пришел к мысли о конечной скорости распростране ния электромагнитных взаимодействий. Изу чал земной магнетизм, изобрел в 1837 г. униполярный магнитометр, в 1838 г. – бифилярный. В 1829 г. Сформулировал принцип наименьшего принуждения (принцип Гаусса). Один из первых высказал в 1818 г. предположение о возможности существования неевклидовой геометрии.
Cлайд 6
Основная ценность теоремы Остроградского-Гаусса состоит в том, что она позволяет глубже понять природу электростатического поля и устанавливает более общую связь между зарядом и полем.
Cлайд 7
силовые линии – это линии, касательная к которым в любой точке поля совпадает с направлением вектора напряженности
Cлайд 8
Однородным называется электростатическое поле, во всех точках которого напряженность одинакова по величине и направлению, т.е. Однородное электростатическое поле изображается параллельными силовыми линиями на равном расстоянии друг от друга
Cлайд 9
В случае точечного заряда, линии напряженности исходят из положительного заряда и уходят в бесконечность; и из бесконечности входят в отрицательный заряд. Т.к. то густота силовых линий обратно пропорциональна квадрату расстояния от заряда
Cлайд 10
Для системы зарядов, как видим, силовые линии направлены от положительного заряда к отрицательному
Cлайд 11
Cлайд 12
Густота силовых линий должна быть такой, чтобы единичную площадку, нормальную к вектору напряженности пересекало такое их число, которое равно модулю вектора напряженности , т.е.
Cлайд 13
если на рисунке выделить площадку то напряженность изображенного поля будет равна
Cлайд 14
2.2. Поток вектора напряженности Полное число силовых линий, проходящих через поверхность S называется потоком вектора напряженности Ф через эту поверхность В векторной форме можно записать – скалярное произведение двух векторов, где вектор .
Cлайд 15
Таким образом, поток вектора есть скаляр, который в зависимости от величины угла α может быть как положительным, так и отрицательным.
Cлайд 16
Для первого рисунка – поверхность А1 окружает положительный заряд и поток здесь направлен наружу, т.е. Поверхность А2 – окружает отрицательный заряд, здесь и направлен внутрь. Общий поток через поверхность А равен нулю. Опишите второй рисунок самостоятельно.
Cлайд 17
2.3. Теорема Остроградского-Гаусса Итак, по определению, поток вектора напряженности электрического поля равен числу линий напряженности, пересекающих поверхность S.
Cлайд 18
поток вектора напряженности через произвольную элементарную площадку dS будет равен: Т.е. в однородном поле В произвольном электрическом поле
Cлайд 19
Подсчитаем поток вектора через произвольную замкнутую поверхность S, окружающую точечный заряд q . Окружим заряд q сферой S1.
Cлайд 20
Центр сферы совпадает с центром заряда. Радиус сферы S1 равен R1. В каждой точке поверхности S1 проекция Е на направление внешней нормали одинакова и равна
Cлайд 21
Тогда поток через S1
Cлайд 22
Подсчитаем поток через сферу S2, имеющую радиус R2:
Cлайд 23
Из непрерывности линии следует, что поток и через любую произвольную поверхность S будет равен этой же величине: – теорема Гаусса для одного заряда.
Cлайд 24
Для любого числа произвольно расположенных зарядов, находящихся внутри поверхности: – теорема Гаусса для нескольких зарядов. Поток вектора напряженности электрического поля через замкнутую поверхность в вакууме равен алгебраической сумме всех зарядов, расположенных внутри поверхности, деленной на ε0.
Cлайд 25
Полный поток проходящий через S3, не охватывающую заряд q, равен нулю:
Cлайд 26
Таким образом, для точечного заряда q, полный поток через любую замкнутую поверхность S будет равен: – если заряд расположен внутри замкнутой поверхности; – если заряд расположен вне замкнутой поверхности; этот результат не зависит от формы поверхности, и знак потока совпадает со знаком заряда.
Cлайд 27
Электрические заряды могут быть «размазаны» с некоторой объемной плотностью различной в разных местах пространства: Здесь dV – физически бесконечно малый объем, под которым следует понимать такой объем, который с одной стороны достаточно мал, чтобы в пределах его плотность заряда считать одинаковой, а с другой – достаточно велик, чтобы не могла проявиться дискретность заряда, т.е. то, что любой заряд кратен целому числу элементар-ных зарядов электрона или протона .
Cлайд 28
Суммарный заряд объема dV будет равен: Тогда из теоремы Гаусса можно получить: – это ещё одна форма записи теоремы Остроградского-Гаусса, если заряд неравномерно распределен по объему.
Cлайд 29
2.4. Дифференциальная форма теоремы Остроградского-Гаусса Пусть заряд распределен в пространстве V, с объемной плотностью . Тогда
Cлайд 30
Теперь устремим , стягивая его к интересующей нас точке. Очевидно, что при этом будет стремиться к ρ в данной точке, т.е. Величину, являющуюся пределом отношения к V, при , называют дивергенцией поля Е и обозначается .
Cлайд 31
Дивергенция поля Е . (2.4.1) Аналогично определяется дивергенция любого другого векторного поля. Из этого определения следует, что дивергенция является скалярной функцией координат. В декартовой системе координат
Cлайд 32
Итак, (2.4.3) Это теорема Остроградского-Гаусса в дифференциальной форме. Написание многих формул упрощается, если ввести векторный дифференциальный оператор (Набла) где i, j, k – орты осей (единичные векторы).
Cлайд 33
Сам по себе оператор смысла не имеет. Он приобретает смысл в сочетании с векторной или скалярной функцией, на которую символично умножается: дифференциальная форма теоремы Остроградского-Гаусса.
Cлайд 34
В тех точках поля, где – (положительные заряды) источники поля, где – стоки (отрицательные заряды). Линии выходят из источников и заканчиваются в стоках.
Cлайд 35
2.5. Вычисление электрических полей с помощью теоремы Остроградского-Гаусса 2.5.1. Поле бесконечной однородно заряженной плоскости
Cлайд 36
Поверхностная плотность заряда на произвольной плоскости площадью S определяется по формуле: dq – заряд, сосредоточенный на площади dS; dS – физически бесконечно малый участок поверхности.
Cлайд 37
Представим себе цилиндр с образующими, перпендикулярными плоскости, и основаниями ΔS, расположенными симметрично относительно плоскости Тогда
Cлайд 38
Суммарный поток через замкнутую поверхность (цилиндр) будет равна: Внутри поверхности заключен заряд . Следовательно, из теоремы Остроградского-Гаусса получим: откуда видно, что напряженность поля плоскости S равна: (2.5.1)
Cлайд 39
2.5.2. Поле двух равномерно заряженных плоскостей Пусть две бесконечные плоскости заряжены разноименными зарядами с одинаковой по величине плотностью σ
Cлайд 40
Результирующее поле, как было сказано выше, находится как суперпозиция полей, создаваемых каждой из плоскостей. Тогда внутри плоскостей Вне плоскостей напряженность поля Полученный результат справедлив и для плоскостей конечных размеров, если расстояние между плоскостями гораздо меньше линейных размеров плоскостей (плоский конденсатор).
Cлайд 41
Распределение напряженности электростатического поля между пластинами конденсатора показано на рисунке:
Cлайд 42
Между пластинами конденсатора действует сила взаимного притяжения (на единицу площади пластин): т.е. Механические силы, действующие между заряженными телами, называют пондермоторными.
Cлайд 43
Сила притяжения между пластинами конденсатора: где S – площадь обкладок конденсатора. Т.к. Это формула для расчета пондермоторной силы
Cлайд 44
2.5.3. Поле заряженного бесконечного цилиндра (нити) Пусть поле создается бесконечной цилиндрической поверхностью радиуса R, заряженной с постоянной линейной плотностью где dq – заряд, сосредоточенный на отрезке цилиндра
Cлайд 45
Представим вокруг цилиндра (нити) коаксиальную замкнутую поверхность (цилиндр в цилиндре) радиуса r и длиной l (основания цилиндров перпендикулярно оси).
Cлайд 46
Для оснований цилиндров для боковой поверхности т.е. зависит от расстояния r. Следовательно, поток вектора через рассматриваемую поверхность, равен
Cлайд 47
При на поверхности будет заряд По теореме Остроградского-Гаусса Тогда Если , т.к. внутри замкнутой поверхности зарядов нет.
Cлайд 48
Графически распределение напряженности электростатического поля цилиндра показано на рис
Cлайд 49
2.5.4. Поле двух коаксиальных цилиндров с одинаковой линейной плотностью λ, но разным знаком
Cлайд 50
Внутри меньшего и вне большего цилиндров поле будет отсутствовать В зазоре между цилиндрами, поле определяется так же, как в п. 2.5.3:
Cлайд 51
Это справедливо и для бесконечно длинного цилиндра, и для цилиндров конечной длины, если зазор между цилиндрами намного меньше длины цилиндров (цилиндрический конденсатор). Таким образом для коаксиальных цилиндров имеем:
Cлайд 52
2.5.5. Поле заряженного пустотелого шара
Cлайд 53
Вообразим вокруг шара – сферу радиуса r (рис).
Cлайд 54
Если то внутрь воображаемой сферы попадет весь заряд q, распределенный по сфере, тогда откуда поле вне сферы: Внутри сферы, при поле будет равно нулю, т.к. там нет зарядов:
Cлайд 55
Как видно, вне сферы поле тождественно полю точечного заряда той же величины, помещенному в центр сферы.
Cлайд 56
2.5.6. Поле объемного заряженного шара Для поля вне шара радиусом R получается тот же результат, что и для пустотелой сферы, т.е. справедлива формула:
Cлайд 57
Внутри шара при сферическая поверхность будет содержать в себе заряд, равный где ρ – объемная плотность заряда: объем шара: Тогда по теореме Остроградского-Гаусса запишем
Cлайд 58
Т.е. внутри шара Т.е., внутри шара имеем
Cлайд 59
Таким образом, имеем: поле объемного заряженного шара
Cлайд 60
