X
Код презентации скопируйте его
Применение свойств функций к решению уравнений и неравенств
Скачать эту презентацию
Презентация на тему Применение свойств функций к решению уравнений и неравенств
Скачать эту презентациюCлайд 1
Применение свойств функций к решению уравнений и неравенств Знакомство с методом мажорант
Cлайд 2
Метод мажорант На самом деле, вы встречались с этим методом, просто не знали, как он называется. Некоторые математики называют этот метод по-другому: «метод математической оценки», «метод mini-max». Это очень красивый метод, и ему непременно следует научиться
Cлайд 3
Определение Метод мажорант или метод оценки используется (чаще всего) в уравнениях вида f(x) = g(x) , где f(x) и g(x) – ограниченные функции, и на области определения данного уравнения наибольшее значение М одной из них равно наименьшему значению М другой. Мажорантой (от magiorante – главенствующий) данной функции f (х) на множестве D( f ) называется такое число М, что либо f(х) ≤ М для всех х ϵ D( f ), либо f(х) ≥ М для всех х ϵ D( f ).
Cлайд 4
Как начинать решать такие задачи? Сделать оценку обеих частей. Пусть существует такое число М, из области определения (уравнения или неравенства), что f(x) ≤ M и f(x) ≥ M. Эту ситуацию хорошо иллюстрирует график.
Cлайд 5
Решение. Оценим обе части уравнения. При всех значениях х верны неравенства: Следовательно, данное уравнение равносильно системе: Полученная система не имеет решений, так как х = 0 не удовлетворяет второму уравнению. Графическая иллюстрация
Cлайд 6
Пример 2. Решить уравнение Решение: Оценим обе части уравнения. Следовательно, данное уравнение равносильно системе: При х = 0 второе уравнение обращается в тождество, значит, х = 0 корень уравнения. Ответ: х = 0. Графическая иллюстрация
Cлайд 7
Пример 3. Решить неравенство тогда неравенство примет вид неравенство выполняется тогда и только тогда, когда Ответ: - 1. Решение. Графическая иллюстрация
Cлайд 8
Пример 4. Решить уравнение Для правой части (в силу неравенства для суммы двух взаимно обратных чисел) выполнено Поэтому уравнение имеет решения, если одновременно выполнены два условия принимает значение от 0,5 до 2. Решение. Оценим обе части уравнения. Графическая иллюстрация
Cлайд 9
Пример 5. Решить уравнение Поскольку - 1 ≤ sinx ≤ 1 и - 1 ≤ sin 9x ≤ 1, то равенство выполняется тогда и только тогда, когда Решением первого уравнения системы являются значения Решение. Оценим обе части уравнения.
Cлайд 10
Пример 6. Решить уравнение Решение. Очевидно, что почленно эти неравенства, получаем: Следовательно, левая часть равна правой, лишь при условии: Значит, данное уравнение равносильно системе уравнений: Решая систему уравнений, получаем: . Заметим, что перемножив
Cлайд 11
Проверим справедливость первого равенства, подставив эти корни: Пример 7. Решите уравнение Решение. Для решения уравнения оценим его части: Равенство возможно только при условии Сначала решим второе уравнение: Итак, данное уравнение имеет единственный корень х = 0. Ответ: 0. При х = -1 имеем:
Cлайд 12
Пример 8. Найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнение имеет решения. Найдите эти решения. При всех значениях х выражение При всех значения х выражения Поэтому Следовательно, левая часть уравнения не меньше 4, а правая часть – не больше 4. Получаем систему: Решение. Перепишем уравнение в виде
