X
Код презентации скопируйте его
Понятие бесконечной интегральной суммы. Интеграл
Скачать эту презентацию
![x H x [0;H] 0 x Применяя понятие бесконечной интегральной суммы попробуйте са...](https://bigslide.ru/images/13/12537/831/img4.jpg "x H x [0;H] 0 x Применяя понятие бесконечной интегральной суммы попробуйте са...")
Презентация на тему Понятие бесконечной интегральной суммы. Интеграл
Скачать эту презентациюCлайд 1
Алгебра и начала анализа, 11 класс Понятие бесконечной интегральной суммы. Интеграл. Воробьев Леонид Альбертович , г.Минск – формула Ньютона-Лейбница
Cлайд 2
H xk Xk-1 Вычисление площади сечения реки. Δх Sk g(xk) – глубина в точке xk Если разбить ширину реки H на n равных частей, то при n : Sk=Δx∙g(xk) x0 xn Последнее выражение в равенстве и есть бесконечная интегральная сумма.
Cлайд 3
Чтобы получить представление об общем методе вычисления объемов различных пространственных фигур, попробуем найти объем лимона. Ни на одно из тел, изучаемых в школе (призма, пирамида, шар, конус и т.д.), лимон не похож. Однако, мы можем поступить как все хозяйки – разрезать лимон на тонкие ломтики, размер которых зависит от расстояния x, причем x [0;H]. H x Тогда, по свойству объема, сумма объемов всех ломтиков даст нам объем всего лимона.
Cлайд 4
H x x С точки зрения геометрии мы построили сечения пространственной фигуры плоскостями, перпендикулярными оси фигуры; причем, если принять число разбиений бесконечно большим числом (n→ ), то: Проще говоря, при бесконечном числе разбиений каждый ломтик «вырождается» в плоское сечение и объем лимона равен бесконечной интегральной сумме площадей таких сечений, зависящих от расстояния x, т.е. где H – высота тела, а Sсеч. – некоторая функция, зависящая от x, причем x [0;H]. Sсеч. Примечание. ∑ – так сокращенно обозначают знак суммы.
Cлайд 5
![x H x [0;H] 0 x Применяя понятие бесконечной интегральной суммы попробуйте са...](https://bigslide.ru/images/13/12537/960/img4.jpg "x H x [0;H] 0 x Применяя понятие бесконечной интегральной суммы попробуйте са...")
x H x [0;H] 0 x Применяя понятие бесконечной интегральной суммы попробуйте самостоятельно объяснить данный пример и вывод окончательной формулы объёма прямоугольного параллелепипеда (для проверки ☺): Объем прямоугольного параллелепипеда равен бесконечной интегральной сумме площадей сечения (равных площади основания) на промежутке [0; H] (взятых вдоль высоты).
Cлайд 6
x y x y x y x y Понятие о криволинейной трапеции. а b y=f(x) а b а b а b y=f(x) y=f(x) y=f(x)
Cлайд 7
x1 x y a b 0 x2 x0= x3 =xn y=f(x) … Δx Вычисление площади криволинейной трапеции методом “правых” прямоугольников: S1 S2 S3 Sn
Cлайд 8
x y a b 0 Δx Вычисление площади криволинейной трапеции методом “левых” прямоугольников: x1 x3 x2 y=f(x) x0= =xn … S1 S2 S3 Sn
Cлайд 9
x y 0 Δx Ещё более точное приближение даёт метод “трапеций”: y=f(x) a x1 x3 x2 x0= … b =xn S1 S2 S3 Sn
Cлайд 10
x y b 0 x2 x1 x3 =xn … Чем больше значение n, тем меньше погрешность приближенного значения: y=f(x) a x0=
Cлайд 11
x y b 0 =xn При n Δx 0 и каждый прямоугольник «вырождается» в отрезок, длина которого равна значению функции (или его модулю, если значения функции отрицательные). y=f(x) a x0= Таким образом, площадь криволинейной трапеции равна бесконечной интегральной сумме значений данной функции на промежутке [a; b]. Δx
Cлайд 12
В приведенном выше примере мы находили площадь криволинейной трапеции с помощью понятия бесконечной интегральной суммы значений данной функции f(x) на отрезке [a; b]. В математике принята более короткая запись этого понятия – интеграл (∫), т.е. Примечание. Обратите внимание, что знак интеграла напоминает стилизованную букву S, что естественно из геометрического смысла этого понятия. Читают: интеграл от a до b эф от икс дэ икс. Число a называют нижним пределом интегрирования, b – верхним пределом интегрирования, f(x) – подынтегральной функцией, x – переменной интегрирования. Если Вы владеете понятием предела (lim), то можно дать следующее определение интеграла: , где xn [a; b].
Cлайд 13
x+Δx x y 0 x y=f(x) Докажем теперь, что S'(x)=f(x). Заметим, что S(a)=0, S(b)=S. ΔS Δx b a x+Δx x Возьмём теперь прямоугольник такой же площади ΔS, опирающийся на отрезок [x; x+Δx]. c В силу непрерывности функции f верхняя сторона прямоугольника пересекает график функции в некоторой точке с абсциссой c [x; x+Δx]. Высота прямоугольника равна f(c). По формуле площади прямоугольника имеем: S(x) Выберем произвольный аргумент x [a; b]. S(a) S(b)
Cлайд 14
Важно!!! понимать, что значение интеграла может получиться отрицательным (если, например, на заданном промежутке значения функции отрицательны).
Cлайд 15
Пример 1. Пример 2. Отметим некоторые свойства интеграла (объясните их с помощью учителя): Применение этих свойств часто упрощает вычисление интегралов. , где c
Cлайд 16
Решение.
