X

Код презентации скопируйте его

Ширина px

Вы можете изменить размер презентации, указав свою ширину плеера!

Рациональные уравнения

Скачать эту презентацию

Презентация на тему Рациональные уравнения

Скачать эту презентацию
Cлайд 1
Вишняков А.Ю. 2008год Вишняков А.Ю. 2008год
Cлайд 2
В данной презентации достаточно полно изложена теория решения различных видов... В данной презентации достаточно полно изложена теория решения различных видов рациональных уравнений, за исключением линейных и квадратных уравнений, а также общей теории решения уравнений 3-й и 4-й степеней. Нет здесь и примеров, решаемых с помощью теоремы Безу. Каждый вид уравнения сопровождается решением соответствующего примера. Данные материалы могут быть использованы частично на уроках алгебры в обычных классах, но в большей мере пригодятся для изучения этой темы в классах с углубленным изучением математики.
Cлайд 3
end end
Cлайд 4
end end
Cлайд 5
Способ подстановки При решении некоторых целых рациональных уравнений есть см... Способ подстановки При решении некоторых целых рациональных уравнений есть смысл ввести новую переменную величину, обозначив некоторое рациональное выражение новой буквой. Например, в уравнении , где Р(х) – многочлен, удобно ввести новую переменную y=Р(х), решить полученное квадратное уравнение относительно y и, наконец, решить уравнение Р(х)= yо, где yо – корень уравнения Обратно в меню Пример
Cлайд 6
Пример Решите уравнение Решение. Введем новую переменную. Пусть Тогда получим... Пример Решите уравнение Решение. Введем новую переменную. Пусть Тогда получим уравнение Находим корень у = 1 и делаем обратную подстановку. Ответ: 2; 3. Обратно в меню
Cлайд 7
Распадающееся уравнение Рациональное уравнение называется распадающимся, если... Распадающееся уравнение Рациональное уравнение называется распадающимся, если его можно привести к виду , где – рациональные выражения с переменной х. Для решения воспользуемся равносильным переходом Применяемые приемы разложения на множители: - вынесение общего множителя за скобки; - способ группировки; -формулы сокращенного умножения. Обратно в меню Пример
Cлайд 8
Пример Решите уравнение Решение. Разложим левую часть уравнения на множители:... Пример Решите уравнение Решение. Разложим левую часть уравнения на множители: Воспользуемся равносильным переходом: Ответ:-2;0;1;2. Обратно в меню
Cлайд 9
Однородное уравнение 2-го порядка При решении уравнения надо проверить две си... Однородное уравнение 2-го порядка При решении уравнения надо проверить две ситуации: 1) т.е. корнями заданного уравнения являются решения этой системы. 2) Если Q(x) ≠ 0, то после деления заданного уравнения на Q2(x) получим уравнение которое подстановкой сводится к квадратному уравнению В ответ включают числа, полученные при рассмотрении обеих ситуаций. Обратно в меню Пример
Cлайд 10
Пример Решить уравнение (x2 – 2х)2 – (x2 – 2х)(x2 – х – 2) – 2(x2 – х – 2)2 =... Пример Решить уравнение (x2 – 2х)2 – (x2 – 2х)(x2 – х – 2) – 2(x2 – х – 2)2 = 0. Решение. Возможны две ситуации. Рассмотрим первую: Обратно в меню Найден первый корень уравнения х=2.
Cлайд 11
Продолжение решения Рассмотрим вторую ситуацию: разделим почленно заданное ур... Продолжение решения Рассмотрим вторую ситуацию: разделим почленно заданное уравнение на (x2 – х – 2)2 при условии, что х ≠ -1 и х ≠ 2. Уравнение принимает вид Обозначим и решим квадратное уравнение t2 – t –2 = 0. Получаем t1= -1, t2= 2. Обратная подстановка дает уравнения откуда х = -0,5 и х = -2. С учетом обеих ситуаций получаем ответ: - 0,5; -2; 2. Обратно в меню
Cлайд 12
Биквадратное уравнение Уравнение имеет вид aх4+bх2+c=0. Сделаем подстановку x... Биквадратное уравнение Уравнение имеет вид aх4+bх2+c=0. Сделаем подстановку x2 = t. Значит, x4 = t2. Получаем квадратное уравнение at2+bt+c=0. Находим значения t и, сделав обратную подстановку, находим корни исходного уравнения. Замечание. При решении биквадратного уравнения можно получить от 1 до 4-х корней или же это уравнение может совсем не иметь корней. Обратно в меню Пример
Cлайд 13
Пример Решите уравнение х4–3х2–4=0. Решение. Сделаем подстановку x2 = t. Полу... Пример Решите уравнение х4–3х2–4=0. Решение. Сделаем подстановку x2 = t. Получаем квадратное уравнение t2–3t–4=0, корни которого t = -1 и t = 4. Обратная замена дает два уравнения x2 = -1 и x2 = 4, из которых первое уравнение не имеет корней, а корни второго уравнения -2 и 2. Ответ: -2; 2. Обратно в меню
Cлайд 14
Симметричное уравнение 3-го порядка Уравнение имеет вид ах3+bх2+bх+а=0. Сгруп... Симметричное уравнение 3-го порядка Уравнение имеет вид ах3+bх2+bх+а=0. Сгруппируем слагаемые: а(х3+1)+bх(х+1)=0. Применим формулу суммы кубов а(х+1)(х2 –х+1)+bх(х+1)=0 и выполним разложение на множители (х+1)(ах2+(b - а)х+а)=0. Получили распадающееся уравнение. Значит, х+1=0 или ах2+(b - а)х+а=0. Решив эти два уравнения, найдем корни исходного уравнения. Обратно в меню Пример
Cлайд 15
Пример Решите уравнение 2х3–3х2– 3х +2=0. Решение. Сгруппируем слагаемые пара... Пример Решите уравнение 2х3–3х2– 3х +2=0. Решение. Сгруппируем слагаемые парами и в каждой паре вынесем общий множитель за скобки: 2(х3+1)–3х(х+1)=0. Применим формулу суммы кубов и вынесем общий множитель (х+1): 2(х+1)(х2 –х+1)– 3х(х+1)=0, (х+1)(2х2 –5х+2)=0. Значит, х+1=0 или 2х2 –5х+2=0. Решив эти два уравнения, найдем корни исходного уравнения: -1; 0,5; 2. Ответ: -1; 0,5; 2. Обратно в меню
Cлайд 16
Симметричное уравнение 4-го порядка Уравнение имеет вид ах4+bх3+сх2+bх+а=0. С... Симметричное уравнение 4-го порядка Уравнение имеет вид ах4+bх3+сх2+bх+а=0. Сгруппируем слагаемые и разделим обе части уравнения на х2. Получаем Сделаем подстановку , тогда Получаем квадратное уравнение a(t2-2)+bt+c=0. Находим значения t и делаем обратную подстановку. Обратно в меню Пример
Cлайд 17
Пример Решите уравнение Решение. Разделим обе части уравнения на x2 ≠ 0 и, уд... Пример Решите уравнение Решение. Разделим обе части уравнения на x2 ≠ 0 и, удобно группируя, получим равносильное уравнение: Сделаем подстановку , тогда Получаем квадратное уравнение , корни которого 2 и -3,5. Обратная подстановка дает два рациональных уравнения и откуда и находим корни исходного уравнения. Ответ: 1; Обратно в меню
Cлайд 18
Возвратное уравнение Уравнение вида ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0, где   a ≠ 0... Возвратное уравнение Уравнение вида ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0, где   a ≠ 0,   b ≠ 0 и , называется возвратным уравнением четвертого порядка. Это уравнение сводится к квадратному с помощью подстановки Обратно в меню Пример
Cлайд 19
Пример Решить уравнение x4 + x3 - 6x2 - 2x + 4 = 0. Решение. Заметим, что и, ... Пример Решить уравнение x4 + x3 - 6x2 - 2x + 4 = 0. Решение. Заметим, что и, следовательно, данное уравнение есть возвратное уравнение четвертого порядка. Так как x = 0 не является решением уравнения, разделим на x2 и получим равносильное уравнение Обозначим , тогда и уравнение примет вид t2 + t - 2 = 0, корни которого t1 = -2 и t2 = 1. Делаем обратную замену и после умножения на x ≠ 0 получаем два квадратных уравнения x2 + 2x - 2 = 0, x2 - x - 2 = 0, откуда и получим корни исходного уравнения. Ответ: Обратно в меню
Cлайд 20
Уравнения вида (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = m Если a + b = c + d , то это у... Уравнения вида (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = m Если a + b = c + d , то это уравнение сводится к квадратному уравнению. Действительно, (x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab (x + c)(x + d) = x2 + (c + d)x + cd = = x2 + (a + b)x + cd Обозначив x2 + (a + b)x = t, получим квадратное уравнение (t + ab)(t + cd) = m Из этого уравнения найдем значения t и, сделав обратную подстановку, закончим решение исходного уравнения. Обратно в меню Пример
Cлайд 21
Пример Решить уравнение (x - 2)(x + 1)(x + 4)(x + 7) = 19. Решение. Заметим, ... Пример Решить уравнение (x - 2)(x + 1)(x + 4)(x + 7) = 19. Решение. Заметим, что -2 + 7 = 1 + 4. Удобно группируя, получим [(x - 2)(x + 7)]·[(x + 1)(x + 4)] = 19 или (x2 + 5x – 14 )(x2 + 5x + 4) = 19. Обозначим t = x2 + 5x - 14, тогда x2 + 5x + 4 = t + 18. Уравнение примет вид t(t + 18) = 19   или   t2 + 18t - 19 = 0, откуда t = -19 и t = 1. Сделав обратную подстановку, получим x2 + 5x - 14 = -19 и x2 + 5x - 14 = 1. Окончательный ответ: Обратно в меню
Cлайд 22
Уравнение вида (x + a)4 + (x + b)4 = c Используя подстановку , уравнение можн... Уравнение вида (x + a)4 + (x + b)4 = c Используя подстановку , уравнение можно свести к биквадратному уравнению относительно t. Действительно, подставив в уравнение , получим Обозначим и возведем каждое слагаемое в 4-ю степень. После приведения подобных получим биквадратное уравнение Обратно в меню Пример
Cлайд 23
Пример Решить уравнение (x + 3)4 + (x - 1)4 = 82. Решение. Сделаем подстановк... Пример Решить уравнение (x + 3)4 + (x - 1)4 = 82. Решение. Сделаем подстановку Получим следующее уравнение относительно t: (t + 2)4 + (t - 2)4 = 82 или t4 + 8t3 + 24t2 + 32t + 16 + t4 - 8t3 + 24t2 - 32t + 16 - 82 = 0. Откуда получим биквадратное уравнение t4 + 24t2 - 25 = 0, корни которого t = ± 1. Следовательно, x + 1 = ± 1. Значит, корни исходного уравнения x = -2 и x = 0. Ответ: -2;0. Обратно в меню
Cлайд 24
Уравнение вида Решить уравнение Р(х) = 0. Для каждого корня уравнения Р(х) = ... Уравнение вида Решить уравнение Р(х) = 0. Для каждого корня уравнения Р(х) = 0 сделать проверку: удовлетворяет ли он условию Q(х) ≠ 0 или нет. Если да, то это — корень заданного уравнения, а если нет, то этот корень является посторонний для заданного уравнения и в ответ его включать не следует. Обратно в меню Пример
Cлайд 25
Пример Решите уравнение   Решение. Приравняем числитель дроби к нулю и решим ... Пример Решите уравнение   Решение. Приравняем числитель дроби к нулю и решим полученное уравнение:    Значение х = 2 не удовлетворяет условию Следовательно, уравнение имеет один корень х= 4. Ответ: 4. Обратно в меню
Cлайд 26
Уравнение вида Подстановкой это уравнение сводится к виду Умножим на и решим ... Уравнение вида Подстановкой это уравнение сводится к виду Умножим на и решим полученное квадратное уравнение относительно t. Остается сделать обратную подстановку где tо - корень квадратного уравнения, и решить полученное уравнение относительно х. Обратно в меню Пример
Cлайд 27
Уравнение вида Подстановкой это уравнение сводится к виду Умножим на и решим ... Уравнение вида Подстановкой это уравнение сводится к виду Умножим на и решим полученное квадратное уравнение относительно t. Остается сделать обратную подстановку где tо - корень квадратного уравнения, и решить полученное уравнение относительно х. Обратно в меню Пример
Cлайд 28
Пример Решите уравнение   Решение. Сделаем подстановку и решим полученное ура... Пример Решите уравнение   Решение. Сделаем подстановку и решим полученное уравнение относительно t :    Обратная подстановка приводит к уравнению корень которого х = -1. Ответ: -1. Обратно в меню
Cлайд 29
Уравнения, состоящие из суммы двух и более дробей 1-й способ Перенести все чл... Уравнения, состоящие из суммы двух и более дробей 1-й способ Перенести все члены уравнения в одну часть. Привести уравнение к виду и найти корни полученного уравнения. 2-й способ Определить О.Д.З. уравнения. Умножить обе части уравнения на общий знаменатель дробей и получить целое уравнение. Найти корни полученного уравнения и проверить их соответствие О.Д.З. Обратно в меню Пример
Cлайд 30
Пример Решите уравнение   Решение. Найдём О.Д.З. Знаменатели дробей не могут ... Пример Решите уравнение   Решение. Найдём О.Д.З. Знаменатели дробей не могут обращаться в нуль . Значит, О.Д.З. уравнения: х ≠ 2 и х ≠ 0. Перенесём члены из правой части уравнения в левую и приведём к общему знаменателю.    . Приравняем числитель дроби к нулю: х2 – 6х + 8 = 0. Находим корни квадратного уравнения: х = 4 и х = 2. Значение х = 2 не удовлетворяет О.Д.З. Следовательно, уравнение имеет один корень х= 4. Ответ: 4. Обратно в меню
Cлайд 31
Уравнения вида Данное уравнение сводится к квадратному уравнению заменой пере... Уравнения вида Данное уравнение сводится к квадратному уравнению заменой переменной Обратно в меню Пример
Cлайд 32
Пример Решить уравнение Решение. О.Д.З. уравнения есть множество Поскольку x ... Пример Решить уравнение Решение. О.Д.З. уравнения есть множество Поскольку x = 0 не является решением данного уравнения, перепишем уравнение в виде (разделим числитель и знаменатель каждой дроби на x). Обозначим и уравнение примет вид Обратно в меню
Cлайд 33
Продолжение решения О.Д.З. полученного уравнения t ≠ 5 и t ≠ -1. Решая это ур... Продолжение решения О.Д.З. полученного уравнения t ≠ 5 и t ≠ -1. Решая это уравнение, приходим к квадратному уравнению   2t2 - 13t + 11 = 0, корни которого t1 = 1 и t2 = 11/2 удовлетворяют О.Д.З.. Делаем обратную подстановку и получаем два рациональных уравнения решив которые находим корни заданного уравнения. Ответ: Обратно в меню
Cлайд 34
Литература Алгебра и математический анализ, 10 Н.Я. Виленкин, О.С. Ивашев-Мус... Литература Алгебра и математический анализ, 10 Н.Я. Виленкин, О.С. Ивашев-Мусатов, С.И. Шварцбурд Алгебра и начала анализа. 8 – 11 кл. Пособие для школ и классов с углубл. изучением математики (серия «Дидактические материалы») Звавич Л.И., Шляпочник Л.Я., Чинкина М.В.
Скачать эту презентацию
Наверх