X
Код презентации скопируйте его
Применения производной к исследованию функций
Скачать эту презентацию
Презентация на тему Применения производной к исследованию функций
Скачать эту презентациюCлайд 1
Применения производной к исследованию функций
Cлайд 2
Оглавление Схема исследования функций; Признак возрастания (убывания) функции: Достаточный признак возрастания функции; Достаточный признак убывания функции; Критические точки функции: Необходимое условие экстремума; Признак максимума функции; Признак минимума функции.
Cлайд 3
Схема исследования функций Найти области определения и значений данной функции f. Выяснить, обладает ли функция особенностями, облегчающими исследование. Вычислить координаты точек пересечения графика с осями координат. Найти промежутки знакопостоянства функции f. Выяснить, на каких промежутках функция f возрастает, а на каких убывает. Найти точки и вид экстремума и вычислить значения f в этих точках. Исследовать поведение функции f в окрестности характерных точек, не входящих в область определения.
Cлайд 4
Признак возрастания (убывания) функции
Cлайд 5
Достаточный признак возрастания функции. Если f´ (x) > 0 в каждой точке интервала I, то функция возрастает на I. Достаточный признак убывания функции. Если f´ (х) < 0 в каждой точке интервала I, то функция убывает на I.
Cлайд 6
Доказательство признака возрастания (убывания) функции Доказательство проводится на основании формулы Лагранжа: f´
Cлайд 7
Пример нахождения промежутков возрастания (убывания) функции Дано: f (x) = -2x + sin x Найти: промежутки возрастания (убывания) функции Решение Функция определена на всей числовой прямой. Найдем f´ (x). f´ (x) = -2 + cos x. | cos x | ≤ 1 => f´ (x) < 0 для всех действительных х. Вывод: f (x) = -2x + sin x убывает на всей числовой прямой
Cлайд 8
Критические точки функции, максимумы и минимумы
Cлайд 9
Необходимое условие экстремума (теорема Ферма) Если точка х0 является точкой экстремума функции f и в этой точке существует производная f´, то она равна нулю: f´(х0) = 0
Cлайд 10
Теорема Ферма есть лишь необходимое условие экстремума. Из того, что производная в точке х0 обращается в нуль, необязательно следует, что в этой точке функция имеет экстремум.
Cлайд 11
Примеры критических точек, в которых производная не существует
Cлайд 12
Признак максимума функции Если функция f непрерывна в точке х0, а f´ (х) > 0 на интервале (а; х0) и f´ (х) < 0 на интервале (х0; b), то точка х0 является точкой максимума функции f. Упрощённая формулировка признака: Если в точке х0 производная меняет знак с плюса на минус, то х0 есть точка максимума.
Cлайд 13
Признак минимума функции Если функция f непрерывна в точке х0, f´ (х) < 0 на интервале (а; х0) и f´ (х) > 0 на интервале (х0; b), то точка х0 является точкой минимума функции f. Упрощённая формулировка признака: Если в точке х0 производная меняет знак с минуса на плюс, то х0 есть точка максимума.
Cлайд 14
Пример нахождения точек экстремума функции Дано: f (x) = 3x – x3 Найти: Точки экстремума функции Решение Найдём производную функции: f´ (x) = 3 – 3х2 f´ (x) = 0, при х = 1 и х = -1 f´ (x) < 0 при х < -1; f‘ (x) > 0 при -1 < х < 1, т.е. в точках -1 и 1 функция меняет знак. По признакам максимума и минимума точка -1 является точкой минимума, а точка 1 — точкой максимума.
Cлайд 15
Проект выполняла Сергеева Вероника, ученица 11 класса, с использованием следующих материалов: Алгебра и начала анализа. Учебник для 10-11 классов средней школы.
