X

Код презентации скопируйте его

Ширина px

Вы можете изменить размер презентации, указав свою ширину плеера!

10 способов решения квадратных уравнений

Скачать эту презентацию

Презентация на тему 10 способов решения квадратных уравнений

Скачать эту презентацию
Cлайд 1
10 способов решения квадратных уравнений Работу выполнила учитель математики ... 10 способов решения квадратных уравнений Работу выполнила учитель математики МБОУ «СОШ №31» г.Энгельса Волосожар М.И.
Cлайд 2
Способ 1: разложение левой части уравнения на множители. Решим уравнение х2 +... Способ 1: разложение левой части уравнения на множители. Решим уравнение х2 + 10х - 24 = 0.   Разложим левую часть на множители: х2 + 10х - 24 = х2 + 12х - 2х - 24 = х(х + 12) - 2(х + 12) = (х + 12)(х - 2).   Следовательно, уравнение можно переписать так: (х + 12)(х - 2) = 0   Так как произведение равно нулю, то, по крайней мере, один из его множителей равен нулю. Поэтому левая часть уравнения обращается нуль при х = 2, а также при х = - 12. Это означает, что число 2 и - 12 являются корнями уравнения х2 + 10х - 24 = 0.
Cлайд 3
Способ 2: метод выделения полного квадрата. Решим уравнение х2 + 6х - 7 = 0. ... Способ 2: метод выделения полного квадрата. Решим уравнение х2 + 6х - 7 = 0.   Выделим в левой части полный квадрат. Для этого запишем выражение х2 + 6х в следующем виде:   х2 + 6х = х2 + 2• х • 3.
Cлайд 4
В полученном выражении первое слагаемое - квадрат числа х, а второе - удвоенн... В полученном выражении первое слагаемое - квадрат числа х, а второе - удвоенное произведение х на 3. По этому чтобы получить полный квадрат, нужно прибавить 32, так как   х2 + 2• х • 3 + 32 = (х + 3)2. Преобразуем теперь левую часть уравнения х2 + 6х - 7 = 0,   прибавляя к ней и вычитая 32. Имеем: х2 + 6х - 7 = х2 + 2• х • 3 + 32 - 32 - 7 = (х + 3)2 - 9 - 7 = (х + 3)2 - 16.   Таким образом, данное уравнение можно записать так: (х + 3)2 - 16 =0, (х + 3)2 = 16.   Следовательно, х + 3 - 4 = 0, х1 = 1, или х + 3 = -4, х2 = -7.
Cлайд 5
Способ 3: Решение квадратных уравнений по формуле. Умножим обе части уравнени... Способ 3: Решение квадратных уравнений по формуле. Умножим обе части уравнения ах2 + bх + с = 0, а ≠ 0 на 4а и последовательно имеем:   4а2х2 + 4аbх + 4ас = 0, ((2ах)2 + 2ах • b + b2) - b2 + 4ac = 0, (2ax + b)2 = b2 - 4ac, 2ax + b = ± √ b2 - 4ac, 2ax = - b ± √ b2 - 4ac,
Cлайд 6
Способ 4 : Решение уравнений с использованием теоремы Виета. Как известно, пр... Способ 4 : Решение уравнений с использованием теоремы Виета. Как известно, приведенное квадратное уравнение имеет вид   х2 + px + c = 0. (1)   Его корни удовлетворяют теореме Виета, которая при а =1 имеет вид x1 x2 = q, x1 + x2 = - p   Отсюда можно сделать следующие выводы (по коэффициентам p и q можно предсказать знаки корней).
Cлайд 7
а) Если сводный член q приведенного уравнения (1) положителен (q > 0), то ура... а) Если сводный член q приведенного уравнения (1) положителен (q > 0), то уравнение имеет два одинаковых по знаку корня и это зависти от второго коэффициента p. Если р < 0, то оба корня отрицательны, если р < 0, то оба корня положительны.   Например, x2 – 3x + 2 = 0; x1 = 2 и x2 = 1, так как q = 2 > 0 и p = - 3 < 0; x2 + 8x + 7 = 0; x1 = - 7 и x2 = - 1, так как q = 7 > 0 и p= 8 > 0.   б) Если свободный член q приведенного уравнения (1) отрицателен (q < 0), то уравнение имеет два различных по знаку корня, причем больший по модулю корень будет положителен, если p < 0 , или отрицателен, если p > 0 .   Например, x2 + 4x – 5 = 0; x1 = - 5 и x2 = 1, так как q= - 5 < 0 и p = 4 > 0; x2 – 8x – 9 = 0; x1 = 9 и x2 = - 1, так как q = - 9 < 0 и p = - 8 < 0.
Cлайд 8
Способ 5: Решение уравнений способом «переброски». Рассмотрим квадратное урав... Способ 5: Решение уравнений способом «переброски». Рассмотрим квадратное уравнение   ах2 + bх + с = 0, где а ≠ 0.   Умножая обе его части на а, получаем уравнение   а2х2 + аbх + ас = 0.   Пусть ах = у, откуда х = у/а; тогда приходим к уравнению   у2 + by + ас = 0, равносильно данному. Его корни у1 и у2 найдем с помощью теоремы Виета. Окончательно получаем   х1 = у1/а и х1 = у2/а.
Cлайд 9
При этом способе коэффициент а умножается на свободный член, как бы «перебрас... При этом способе коэффициент а умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому его называют способом «переброски». Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета и, что самое важное, когда дискриминант есть точный квадрат. Пример. Решим уравнение 2х2 – 11х + 15 = 0. Решение. «Перебросим» коэффициент 2 к свободному члену, в результате получим уравнение у2 – 11у + 30 = 0. Согласно теореме Виета   у1 = 5 х1 = 5/2 x1 = 2,5 у2 = 6 x2 = 6/2 x2 = 3. Ответ: 2,5; 3.
Cлайд 10
Способ 6: Свойства коэффициентов квадратного уравнения. Пусть дано квадратное... Способ 6: Свойства коэффициентов квадратного уравнения. Пусть дано квадратное уравнение   ах2 + bх + с = 0, где а ≠ 0.   Если, а+ b + с = 0 (т.е. сумма коэффициентов равна нулю), то х1 = 1, х2 = с/а.
Cлайд 11
Доказательство. Разделим обе части уравнения на а ≠ 0, получим приведенное кв... Доказательство. Разделим обе части уравнения на а ≠ 0, получим приведенное квадратное уравнение   x2 + b/a • x + c/a = 0.   Согласно теореме Виета x1 + x2 = - b/a, x1x2 = 1• c/a.   По условию а – b + с = 0, откуда b = а + с. Таким образом,   x1 + x2 = - а + b/a= -1 – c/a, x1x2 = - 1• ( - c/a), т.е. х1 = -1 и х2 = c/a, что и требовалось доказать.
Cлайд 12
Примеры. Решим уравнение 345х2 – 137х – 208 = 0. Решение. Так как а + b + с =... Примеры. Решим уравнение 345х2 – 137х – 208 = 0. Решение. Так как а + b + с = 0 (345 – 137 – 208 = 0), то х1 = 1, х2 = c/a = -208/345. Ответ: 1; -208/345.   2)Решим уравнение 132х2 – 247х + 115 = 0. Решение. Так как а + b + с = 0 (132 – 247 + 115 = 0), то х1 = 1, х2 = c/a = 115/132. Ответ: 1; 115/132.
Cлайд 13
Способ 7:Графическое решение квадратного уравнения. Способ 7:Графическое решение квадратного уравнения.
Cлайд 14
Если в уравнении   х2 + px + q = 0   перенести второй и третий члены в правую... Если в уравнении   х2 + px + q = 0   перенести второй и третий члены в правую часть, то получим   х2 = - px - q.   Построим графики зависимости у = х2 и у = - px - q. График первой зависимости - парабола, проходящая через начало координат. График второй зависимости - прямая .
Cлайд 15
.Возможны следующие случаи: прямая и парабола могут пересекаться в двух точка... .Возможны следующие случаи: прямая и парабола могут пересекаться в двух точках, абсциссы точек пересечения являются корнями квадратного уравнения; - прямая и парабола могут касаться ( только одна общая точка), т.е. уравнение имеет одно решение; - прямая и парабола не имеют общих точек, т.е. квадратное уравнение не имеет корней.
Скачать эту презентацию
Наверх