X

Код презентации скопируйте его

Ширина px

Вы можете изменить размер презентации, указав свою ширину плеера!

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Скачать эту презентацию

Презентация на тему Обыкновенные дифференциальные уравнения

Скачать эту презентацию
Cлайд 1
Ст. преп., к.ф.м.н. Богданов Олег Викторович 2010 Ст. преп., к.ф.м.н. Богданов Олег Викторович 2010
Cлайд 2
Обыкновенные дифференциальные уравнения Обыкновенным дифференциальным уравнен... Обыкновенные дифференциальные уравнения Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой значения независимой переменной x, неизвестной функции y = f(x) и её производных (или дифференциалов): Порядком уравнения называется максимальный порядок n входящей в него производной (или дифференциала). Пример: y(4) – y + x = 0 - уравнение четвёртого порядка. Функция y(x) называется решением (или интегралом) дифференциального уравнения если при подстановке ее в уравнение обращает его в тождество.
Cлайд 3
ОДУ первого порядка Обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка ... ОДУ первого порядка Обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида: где x - независимая переменная, y(x) - неизвестная функция Общее решение: Пример: общее решение:
Cлайд 4
Разделяют несколько типов (видов) обыкновенных дифференциальных уравнений: -У... Разделяют несколько типов (видов) обыкновенных дифференциальных уравнений: -Уравнения с разделяющимися переменными, -Однородные уравнения, -Линейные уравнения, -Уравнение в полных дифференциалах, -и т.д. Остановимся подробнее на каждом из этих типов уравнений.
Cлайд 5
Уравнения с разделёнными переменными. Так называются уравнения вида удовлетво... Уравнения с разделёнными переменными. Так называются уравнения вида удовлетворяющее начальному условию f(x)dx + g(y)dy = 0, Интегрируя, получим                          - общий интеграл (общее решение) этого уравнения. Пример: - общее решение
Cлайд 6
Уравнения с разделяющимися переменными. Так называются уравнения вида Эти ура... Уравнения с разделяющимися переменными. Так называются уравнения вида Эти уравнения легко сводятся к уравнению с разделёнными переменными: Записываем уравнение в форме: затем делим на g(y) и умножаем на dx:                    . Это уравнение - с разделёнными переменными. Интегрируя, получим общий интеграл:
Cлайд 7
Выразим у из последнего выражения как функцию х, получим общее решение: Пример: Выразим у из последнего выражения как функцию х, получим общее решение: Пример:
Cлайд 8
Уравнения с однородной правой частью. Так называются уравнения со специальным... Уравнения с однородной правой частью. Так называются уравнения со специальным видом зависимости функции f(x, y) от своих аргументов: Это уравнение сводится к уравнению с разделяющимися переменными относительно новой неизвестной функции u(x) заменой:              Подставляя в уравнение y = x·u, y ′ = u + x·u ′, получим (это - уравнение с разделяющимися переменными), - это общий интеграл уравнения относительно переменных x, u
Cлайд 9
Пример:                                                                      ... Пример:                                                                                                                                                                  - общее решение уравнения
Cлайд 10
Окончательно, получим общее решение: Пример: Окончательно, получим общее решение: Пример:
Cлайд 11
Линейные уравнения. ДУ первого порядка называется линейным, если неизвестная ... Линейные уравнения. ДУ первого порядка называется линейным, если неизвестная функция y(x) и её производная входят в уравнение в первой степени: здесь p(x), q(x) - непрерывные функции. Пример:                             
Cлайд 12
Для решения уравнения представим y(x) в виде произведения двух новых неизвест... Для решения уравнения представим y(x) в виде произведения двух новых неизвестных функций u(x) и v(x): y(x) = u(x)v(x). Тогда и уравнение приводится к виду: или Это уравнение решаем в два этапа: сначала находим функцию v(x) как частное решение уравнения с разделяющимися переменными: затем находим u(x) из уравнения:           
Cлайд 13
Отметим, решая уравнение на v(x) мы не вводим в это решение произвольную пост... Отметим, решая уравнение на v(x) мы не вводим в это решение произвольную постоянную C, нам достаточно найти одну функцию v(x), обнуляющую слагаемое со скобками.       Запоминать эту формулу не надо, лучше усвоить порядок действий и воспроизводить его при решении каждой задачи.
Cлайд 14
Пример:                             Решение: и общее решение уравнения       ... Пример:                             Решение: и общее решение уравнения              .
Cлайд 15
Для нахождения частного решения, соответствующего начальным условиям (задача ... Для нахождения частного решения, соответствующего начальным условиям (задача Коши), подставим в общее решение                             Решение задачи:              
Cлайд 16
Уравнение в полных дифференциалах. Так называется уравнение вида (P(x, y), Q(... Уравнение в полных дифференциалах. Так называется уравнение вида (P(x, y), Q(x, y) - непрерывно дифференцируемы) в случае, если его левая часть является полным дифференциалом некоторой функции u(x, y), т.е. если существует такая функция u(x, y), что Необходимым и достаточным условием существования такой функции является условие:          Если - уравнение в полных дифференциалах, то его правая часть равна 0, т.е. принимает вид du(x, y) = 0. На решении y(x) получим du(x, y(x)) = 0, следовательно, u(x,y(x)) = C, где C - произвольная постоянная. Соотношение u(x, y) = C и есть общее решение уравнения в полных дифференциалах. P(x, y) dx + Q(x, y) dy = 0.
Cлайд 17
Для нахождения функции u(x, y) решается система уравнений Из первого уравнени... Для нахождения функции u(x, y) решается система уравнений Из первого уравнения этой системы находим: с точностью до произвольной дифференцируемой по y функции       (эта функция играет роль постоянной интегрирования; так как интегрирование ведётся по переменной x. Дифференцируем эту функцию по y и приравниваем выражению, стоящему во втором уравнении системы (т.е. ), получим дифференциальное уравнение из которого можно найти .
Cлайд 18
Пример: найти общее решение уравнения Убедимся, что это - уравнение в полных ... Пример: найти общее решение уравнения Убедимся, что это - уравнение в полных дифференциалах.                             .
Cлайд 19
Задание: К какому типу относятся дифференциальные уравнения: Задание: К какому типу относятся дифференциальные уравнения:
Cлайд 20
Cлайд 21
ОДУ высших порядков Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравн... ОДУ высших порядков Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой значения независимой переменной x, неизвестной функции y = f(x) и её производных (или дифференциалов): Общим решением (общим интегралом) уравнения называется соотношение вида:                
Cлайд 22
Некоторые типы уравнений, допускающие понижение порядка. Уравнение вида решае... Некоторые типы уравнений, допускающие понижение порядка. Уравнение вида решается последовательным n-кратным интегрированием. Переобозначив постояные, общее решение запишем в виде : y = cos x + C1x3 + C2x2 + C3x + C4. Пример:
Cлайд 23
Уравнение, не содержащее в явном виде неизвестную функцию и её младшие произв... Уравнение, не содержащее в явном виде неизвестную функцию и её младшие производные. Порядок уравнения вида F(x, y(k), y(k+1), y(k+2), …,y(n)) = 0, не содержащего функции y(x) и (k – 1) младшую производную этой функции в явном виде, может быть понижен ровно на k единиц введением новой неизвестной функции z(x) = y(k)(x). Тогда уравнение примет вид т.е. будет уравнением (n – k)-го порядка. После нахождения z(x) последовательным интегрированием решается уравнение y(k)(x)= z(x).
Cлайд 24
Пример: Понизить порядок уравнения:                                          ... Пример: Понизить порядок уравнения:                                                      Младшая производная, входящая в явной форме в уравнения, - вторая, поэтому делаем замену искомой функции: Тогда         и уравнение примет вид                   
Cлайд 25
Уравнение, не содержащее в явном виде независимую переменную x. Порядок уравн... Уравнение, не содержащее в явном виде независимую переменную x. Порядок уравнения не содержащего явно x, может быть понижен на 1 с помощью приёма, который заключается в том, что вводится новая функциональная зависимость от y: Пример: Понизить порядок уравнения: Переменная x явно в уравнение не входит, поэтому полагаем , тогда                 . Просто сократить на p это уравнение нельзя, так как можно потерять семейство решений поэтому рассматриваем два случая:     
Cлайд 26
Спасибо за внимание Спасибо за внимание
Скачать эту презентацию
Наверх