X
Код презентации скопируйте его
Методы решения неравенств с одной переменной (типовые задания С3) - 1
Скачать эту презентацию
![Значит все значения x принадлежат (0; 1] – решения системы (I). Найдем решени...](https://bigslide.ru/images/46/45189/831/img55.jpg "Значит все значения x принадлежат (0; 1] – решения системы (I). Найдем решени...")
Презентация на тему Методы решения неравенств с одной переменной (типовые задания С3) - 1
Скачать эту презентациюCлайд 1
(типовые задания С3) - 1 Методы решения неравенств с одной переменной Методическая разработка Амачкиной А.А. МОУ СОШ №12, г. Балашиха, Московской области.
Cлайд 2
1. Алгебраические методы решения Если исходить из определения неравенства, в котором в обеих частях записаны выражения с переменной, то при решении неравенств используют преобразования (возведение в четную или нечетную степень, логарифмирование, потенцирование), позволяющие привести неравенство к более простому виду. В процессе преобразований множество решений исходного неравенства либо не меняется, либо расширяется (можно получить посторонние решения), либо сужается (можно потерять решения). Поэтому важно знать, какие преобразования неравенства являются равносильными и при каких условиях.
Cлайд 3
1.1. Сведение неравенства к равносильной системе или совокупности систем Как правило, преобразования используют для того, чтобы в неравенстве освободиться от знаков корней, от знаков модуля, от степеней, от знаков логарифма. Поэтому ниже приведены схемы решения некоторых стандартных неравенств определенного вида. При этом отметим, что на практике некоторые цепочки преобразований делают короче, пропуская некоторые очевидные преобразования. Например, вместо длинной цепочки преобразований
Cлайд 4
В общем случае, если решение неравенства не укладывается в стандартную схему, ход решения разбивают на несколько логически возможных случаев.
Cлайд 5
Пример 1. (МИОО, 2009). Решите неравенство Решение. Так как x2 - 6x + 9 = (x-3)2 , то область допустимых значений переменной x определяется условиями: Исходное неравенство при полученных ограничениях для переменной x равносильно неравенству
Cлайд 6
при x = 2 или x = 4 . Значит, с учетом полученных ранее ограничений, x = 2 – решение, так как в этом случае левая часть неравенства (1) равна нулю.
Cлайд 7
На числовой прямой Ox дано графическое представление решения последнего неравенства. Замечание. При решении неравенства использован метод интервалов. С учетом полученных ранее ограничений записываем ответ. 3
Cлайд 8
Пример 2. (МИЭТ, 2000). Решите неравенство Решение. Выполняя равносильные преобразования данного неравенства, получим:
Cлайд 9
Неравенства, содержащие иррациональные выражения Приведем некоторые стандартные схемы для решения иррациональных неравенств, в которых используют возведение в натуральную степень обеих частей неравенства.
Cлайд 10
Cлайд 11
Cлайд 12
Пример 3. Решите неравенство Решение. Если 2 - x > 0 или 2 - x = 0 , то исходное неравенство не выполняется, так как Пусть 2 - x > 0 , тогда при возведении обеих частей неравенства в квадрат получим на ее области определения и при условии 2 - x > 0 равносильное неравенство.
Cлайд 13
На рис. представлен способ графической интерпретации получения решения последней системы неравенств. В итоге получаем x -2 7 2 -18 x x
Cлайд 14
Пример 4. (МИЭТ, 1999). Решите неравенство Решение. Используя схему (6), получим, что данное неравенство равносильно совокупности двух систем: Для системы (I) имеем:
Cлайд 15
Первое неравенство системы (I) приводим к виду: На числовой прямой Ox дано графическое представление решения первого неравенства системы (I). _ + _ + x 0 -1 +
Cлайд 16
Тогда решением системы (I) все значения Для системы (II) имеем: Следовательно, решением системы (II) будет Объединяя решения (I) и (II), получаем ответ.
Cлайд 17
При решении данного в примере 4 неравенства использован формальный переход к равносильной совокупности по схеме (6). Рассмотрим содержательную сторону этого перехода. Если , то обе части неравенства неотрицательны. После возведения в квадрат обеих частей неравенства получим на его области определения и при условии равносильное не равенство, то есть систему неравенств
Cлайд 18
Пусть x2-2x - 3 < 0. Так как , то исходное неравенство выполняется на области его определения, т.е. получаем систему неравенств
Cлайд 19
Пример 5. (МИОО, 2009). Решите неравенство Решение. Выполняя равносильные переходы, получим
Cлайд 20
На рис. представлена графическая интерпретация получения решения последней системы неравенств. x 0 1 3 7 2
Cлайд 21
Пример 6. Решите неравенство Решение. Обозначим . Тогда выразим x = t 2 + 2 и приведем данное неравенство к виду Так как t + 2 > 0, то получаем равносильное неравенство 2t 2 + 7 >t 2 + 4t + 4 или t 2 - 4t +3 > 0 при Отсюда получаем
Cлайд 22
Возвращаемся к переменной x :
Cлайд 23
Пример 7. (МИЭТ, 2002). Решите неравенство Решение. Область определения данного неравенства определяется условиями: Запишем исходное неравенство в следующем виде
Cлайд 24
Так как на области определения исходного неравенства , то, умножив обе части неравенства (*) на получим неравенство, равносильное исходному: Левая и правая части последнего неравенства неотрицательны при - 0,5
Cлайд 25
На рис. представлена графическая интерпретация получения решения последней системы неравенств. С учетом условия - 0,5 < x < 8 получаем ответ. x 4 8
Cлайд 26
Неравенства, содержащие показательные выражения Приведем некоторые стандартные схемы для решения показательных неравенств, в которых используют логарифмирование обеих частей неравенства.
Cлайд 27
В частности:
Cлайд 28
Пример 8. Решите неравенство Решение. 1-й способ. Область допустимых значений переменной x определяется условием: При допустимых значениях переменной преобразуем левую часть данного неравенства
Cлайд 29
Получаем неравенство 2-й способ. Так как то, используя схему (12), получаем:
Cлайд 30
Замечание. При решении неравенства log2(x2-1)
Cлайд 31
Пример 9. Решите неравенство (x2 + x +1)x
Cлайд 32
При решении данного неравенства использован формальный переход к равносильной совокупности по схеме (9). Рассмотрим содержательную сторону этого перехода. Выражение (x2 + x +1)x положительно, так как x2 + x +1 > 0 при всех значениях x э R . Прологарифмируем обе части данного неравенства lg(x2 + x +1)x < lg1 x lg(x2 + x +1)
Cлайд 33
Cлайд 34
Неравенства, содержащие логарифмические выражения Приведем некоторые стандартные схемы для решения логарифмических неравенств, в которых используют потенцирование обеих частей неравенства. В частности: ● Если число a >1, то
Cлайд 35
● Если число 0 < a < 1, то В частности: ● Если число a >1, то ● Если число 0 < a < 1, то
Cлайд 36
Пример 10. Решите неравенство log0.1(x2+x-2)>log0.1(x+3) Решение. Так как основание 0,1 логарифмов, стоящих в обеих частях неравенства, удовлетворяют условию 0 < 0,1 < 1, то, используя схему (19), получаем, что данное неравенство равносильно системе На рис. представлена графическая интерпретация получения решения последней системы неравенств. x -2 1
Cлайд 37
Пример 11. (МИОО, 2009). Решите неравенство Решение. Выполняя равносильные переходы, получим, что данное неравенство равносильно следующей системе неравенств В соответствии со схемой (17) для решения необходимо рассмотреть только случай, когда основание больше единицы, поэтому полученная система равносильна следующей
Cлайд 38
На рис. представлена графическая интерпретация получения решения последней системы неравенств.
Cлайд 39
Пример 12. (ЕГЭ 2010). Решите неравенство Решение. В соответствии с определением логарифма, входящие в неравенство выражения имеют смысл при выполнении условий:
Cлайд 40
Так как при допустимых значениях переменной x по свойствам логарифма справедливы равенства: то исходное неравенство приводится к виду Последнее неравенство равносильно совокупности двух систем на множестве
Cлайд 41
С учетом области определения данного неравенства получаем ответ.
Cлайд 42
Неравенства, содержащие выражения с модулями Пример 13. (МИЭТ, 2002). Решите неравенство Решение. Данное неравенство равносильно совокупности двух систем:
Cлайд 43
Cлайд 44
Приведем некоторые стандартные схемы для решения неравенств с модулями, которые опираются на определение модуля, его геометрический смысл и свойства.
Cлайд 45
Пример 14. Решите неравенство Решение. Используя схему (20) получаем, что данное неравенство равносильно системе неравенств или после приведения подобных членов
Cлайд 46
Пример 15. Решите неравенство Решение. Данное неравенство равносильно следующему Используя схему (23), получаем, что это неравенство, а значит и исходное, равносильно совокупности неравенств
Cлайд 47
Пример 16. Решите неравенство Решение. Используя схему (22), получаем, что данное неравенство равносильно совокупности неравенств Используя схемы (20) и (22), получаем, что эта совокупность равносильна следующей.
Cлайд 48
Для решения неравенств вида: где символ \/ заменяет один из знаков неравенств: применяют метод промежутков. Для этого находят ОДЗ неравенства, определяют точки разрыва функций f1(x), f2(x), ……, fn(x) и находят корни совокупности уравнений
Cлайд 49
На каждом из промежутков, на которые найденные точки разбивают ОДЗ, функции, стоящие под знаком модуля, имеют постоянный знак. Поэтому исходное неравенство на каждом промежутке заменяется на неравенство, не содержащее знаков абсолютной величины и равносильное исходному. Пример 17. Решите неравенство Решение. Решением совокупности являются числа 1 и 2. Эти числа разбивают числовую прямую на три промежутка
Cлайд 50
Освобождаясь от знаков модулей, с учетом знаков выражений под знаком модуля решим данное неравенство на каждом из этих промежутков + _ Если x 3 + x , x < 0 . Получаем, что x < 0 есть решение исходного неравенства на рассматриваемом промежутке. Если , то исходное неравенство равносильно неравенству x -1- x + 2 > 3+ x , x
Cлайд 51
Если , то исходное неравенство равносильно неравенству x -1+ x - 2 > 3+ x , x > 6 . Получаем, что x > 6 есть решение исходного уравнения на рассматриваемом промежутке. Объединяя полученные решения, запишем ответ.
Cлайд 52
Расщепление неравенств Если левая часть неравенства представляет собой произведение двух выражений, а правая часть равна нулю, то схема решения неравенства опирается на правило знаков при умножении (делении) положительных или отрицательных чисел.
Cлайд 53
Cлайд 54
Пример 18. Решите неравенство Решение. Приведем данное неравенство к следующему виду: В соответствии со схемой полученное неравенство равносильно совокупности систем (I) и (II):
Cлайд 55
Решим каждое неравенство системы (I). Для неравенства (1) имеем: Для неравенства (2) имеем:
Cлайд 56
![Значит все значения x принадлежат (0; 1] – решения системы (I). Найдем решени...](https://bigslide.ru/images/46/45189/960/img55.jpg "Значит все значения x принадлежат (0; 1] – решения системы (I). Найдем решени...")
Значит все значения x принадлежат (0; 1] – решения системы (I). Найдем решение системы (II). Для неравенства (3), используя решение (1), имеем:
Cлайд 57
Значит все значения – решения системы (II). Объединяя решения систем (I) и (II), получаем ответ. Для неравенства (4), используя решение (2) и учитывая ограничения имеем:
Cлайд 58
Используемая литература: Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Методы решения неравенств с одной переменной.
