X
Код презентации скопируйте его
Подобие в геометрии. Подобные треугольники
Скачать эту презентацию
Презентация на тему Подобие в геометрии. Подобные треугольники
Скачать эту презентациюCлайд 1
ПОДОБИЕ В ГЕОМЕТРИИ ПОДОБНЫЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ Афанасьева С.А. МОУ «СОШ № 64» 2015 г.
Cлайд 2
ТЕМА «ПОДОБИЕ» Теоретический материал. Задачи.
Cлайд 3
ПЛАН Пропорциональные отрезки. Свойство биссектрисы треугольника. Определение подобных треугольников. Отношение периметров подобных фигур. Отношение площадей подобных фигур. Признаки подобия треугольников.
Cлайд 4
ЗАДАЧИ Разминка. Решение задач. Задачи на признаки подобия. Тест
Cлайд 5
Пропорциональные отрезки Отношением отрезков называется отношение их длин. Отрезки AB и CD пропорциональны отрезкам A1B1 и C1D1,, если ПРИМЕР
Cлайд 6
ПРИМЕР Даны два прямоугольных треугольника Стороны ΒC и CA пропорциональны MN и MK, так как т.е. и НАЙДИТЕ ГИПОТЕНУЗУ БОЛЬШЕГО ТРЕУГОЛЬНИКА.
Cлайд 7
Пропорциональность отрезков Понятие пропорциональности вводится для любого числа отрезков. например
Cлайд 8
Подобные фигуры Предметы одинаковой формы, но разных размеров Фотографии, отпечатанные с одного негатива, но с разными увеличениями; Здание и его макет Планы, географические карты одного и того же района, выполненные в разных масштабах.
Cлайд 9
Подобные фигуры В геометрии фигуры одинаковой формы называют подобными фигурами Подобными являются любые два квадрата Подобными являются любые два круга два куба два шара
Cлайд 10
Подобные треугольники Даны два треугольника AΒC и A1Β1C1, у которых A = A1, Β = Β1, C = C1. Стороны AΒ и A1Β1 , AC и A1C1 , ΒC и Β1C1, лежащие против равных углов, называют сходственными
Cлайд 11
Определение Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого. A = A1, Β = Β1, C = C1. ΔAΒC ~ ΔA1Β1C1
Cлайд 12
Коэффициент подобия Число k , равное отношению сходственных сторон, называется коэффициентом подобия. ΔAΒC ~ ΔA1Β1C1 k – коэффициент подобия.
Cлайд 13
Дополнительные свойства Отношение высот подобных треугольников, проведенных к сходственным сторонам, равно коэффициенту подобия. Отношение медиан подобных треугольников, проведенных к сходственным сторонам, равно коэффициенту подобия. Отношение биссектрис подобных треугольников, проведенных к сходственным сторонам, равно коэффициенту подобия.
Cлайд 14
Отношение периметров Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия. ΔAΒC ~ ΔA1Β1C1 ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
Cлайд 15
Отношение периметров Выносим общий множитель за скобку и сокращаем дробь.
Cлайд 16
Отношение площадей Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. ΔAΒC ~ ΔA1Β1C1 ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
Cлайд 17
Отношение площадей Пусть ΔAΒC ~ ΔA1Β1C1, коэффициент подобия k A = A1, по теореме об отношении площадей треугольников, имеющих по равному углу, имеем
Cлайд 18
Свойство биссектрисы треугольника C B A Биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника. D или ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ПРИМЕР
Cлайд 19
Свойство биссектрисы треугольника ΔABD и ΔACD имеют общую высоту AH ΔABD и ΔACD имеют равные углы 1 = 2 ИМЕЕМ
Cлайд 20
Свойство биссектрисы треугольника Дано: ΔABC AD – биссектриса AB = 14 см BC = 20 см AC = 21 см Найти: BD,CD. Решение:
Cлайд 21
Свойство биссектрисы треугольника Решение: Пусть BD = x см, тогда CD = (20 – x) см. По свойству биссектрисы треугольника имеем Решая уравнение, получим х = 8 BD = 8 см, CD = 12 см.
Cлайд 22
Признаки подобия треугольников Первый признак подобия треугольников. (по двум углам) Второй признак подобия треугольников. (по углу и двум пропорциональным сторонам) Третий признак подобия треугольников. (по трем пропорциональным сторонам)
Cлайд 23
Первый признак подобия треугольников. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
Cлайд 24
Первый признак подобия треугольников. Дано: ΔABC и ΔA1B1C1, A = A1, B = B. Доказать: ΔABC ~ ΔA1B1C1 Доказательство:
Cлайд 25
Первый признак подобия треугольников. Доказательство: A = A1, B = B1. C = 180º – A – B, C1 = 180º – A1 – B1. C = C1 Таким образом углы треугольников соответственно равны.
Cлайд 26
Первый признак подобия треугольников. Доказательство: A = A1, B = B1. Имеем Аналогично, рассматривая равенство углов C= C1, A= A1, получим Итак, сходственные стороны пропорциональны.
Cлайд 27
Второй признак подобия треугольников. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.
Cлайд 28
Второй признак подобия треугольников. Дано: ΔABC и ΔA1B1C1, A = A1, Доказать: ΔABC ~ ΔA1B1C1 Доказательство:
Cлайд 29
Доказательство: Достаточно доказать, что B = B1. ΔABC2, 1= A1, 2= B1, ΔABC2 ~ ΔA1B1C1 по двум углам. (из подобия). По условию AC=AC2. ΔABC=ΔABC2, т.е. B = B1. Второй признак подобия треугольников.
Cлайд 30
Третий признак подобия треугольников. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
Cлайд 31
Третий признак подобия треугольников. Дано: ΔABC и ΔA1B1C1, Доказать: ΔABC ~ ΔA1B1C1 Доказательство:
Cлайд 32
Третий признак подобия треугольников. Доказательство: Достаточно доказать, что A= A1 ΔABC2, 1= A1, 2= B1, ΔABC2 ~ ΔA1B1C1 по двум углам. Отсюда По условию ΔABC=ΔABC2 по трем сторонам, т.е. A = A1
Cлайд 33
Разминка 1 Отрезки AB и CD пропорциональны отрезкам MN и PK. Найдите MN, если AB = 3, CD = 4, PK = 2. MN = 1,5
Cлайд 34
Разминка 2 Даны два подобных прямоугольных треугольника. Коэффициент подобия 1,5 Стороны одного из них 3, 4 и 5. Найдите гипотенузу другого. 7,5 5 · 1,5 = 7,5
Cлайд 35
Разминка 3 По данным на рисунке найдите х. х = 15
Cлайд 36
Разминка 4 Длины двух окружностей 2π и 8π. Найдите отношение их радиусов. 0,25 2π : 8π = 1 : 4
Cлайд 37
Разминка 5 Отношение площадей двух квадратов равно 9 : 1. Найдите сторону большего их них, если сторона меньшего равна 2. 6 k2 = 9, k = 3 Коэффициент подобия 3 · 2 = 6 сторона большего квадрата
Cлайд 38
Решение задач 1 7 13 4 8 11 15 14 5 2 3 12 9 6 10 Пропорциональные отрезки Свойство биссектрисы Определение подобных треугольников Отношение периметров подобных фигур Отношение площадей подобных фигур
Cлайд 39
1 задача Отрезки AB и CD пропорциональны отрезкам EF и MN. Найдите EF, если AB = 5 см, CD = 80 мм, MN = 1 дм.
Cлайд 40
4 задача В треугольнике АВС АС = 6 см, ВС = 7 см, AB = 8 см, BD – биссектриса. Найдите, AD, CD.
Cлайд 41
7 задача Треугольник со сторонами 2 см, 3 см, 4 см подобен треугольнику со сторонами 5 мм, 7,5 мм и 1 см. Найдите коэффициент подобия.
Cлайд 42
10 задача Сходственные стороны подобных треугольников относятся как 1 : 3. Найдите периметр большего треугольника, если периметр меньшего 15 см.
Cлайд 43
13 задача ΔABC ~ ΔA1B1C1 , AB : A1B1 = k = 4 SΔABC= 48 м2. Найдите площадь треугольника A1B1C1 .
Cлайд 44
2 задача В параллелограмме ABCD диагонали пересекаются в точке О, CD = 10 см. Найдите периметр параллелограмма, если
Cлайд 45
5 задача Основание равнобедренного треугольника равно 18 мм, а биссектриса делит боковую сторону на отрезки, из которых прилежащий к основанию равен 12 мм. Найдите периметр треугольника
Cлайд 46
8 задача Треугольники KPF и ЕМТ подобны, причем F = 20°, E = 40°. Найдите остальные углы этих треугольников.
Cлайд 47
11 задача Периметры подобных треугольников 12 мм и 108 мм соответственно. Стороны одного из них 3 мм, 4 мм и 5 мм. Найдите стороны другого и определите его вид.
Cлайд 48
14 задача Площади двух подобных треугольников равны 16 см2 и 25 см2. Одна из сторон первого треугольника равна 2 см. Найдите сходственную ей сторону второго треугольника.
Cлайд 49
В треугольнике ABC точка K лежит на стороне АС. Площади треугольников АВK и KВС относятся как 1 : 3, ВС = 10 см. Найдите AC , если 3 задача . .
Cлайд 50
6 задача AD = 4 BC = 5 AB + DC = 12 Найти AB, DC, AC
Cлайд 51
9 задача На рисунке ΔВЕС ~ ΔАВС, АЕ = 16 см, СЕ = 9 см. Углы ABC и ВЕС тупые. Найдите ВС.
Cлайд 52
12 задача Масштаб плана 1 : 1000. Какова длина ограды участка, если на плане размеры прямоугольника, изображающего участок 2 см х 5 см.
Cлайд 53
15 задача Периметры подобных треугольников относятся как 2 : 3, сумма их площадей равна 260 см2. Найдите площадь каждого треугольника.
Cлайд 54
ЗАДАЧИ 1. Диагонали трапеции ABCD пересекаются в точке O. Площади треугольников BOC и AOD относятся как 1 : 9. Сумма оснований BC и AD равна 4,8 см. Найдите основания трапеции. Решение:
Cлайд 55
Решение Рассмотрим ΔAOD и ΔBOC: 1= 2 (накрест лежащие при AD || BC, и секущей AC; 3= 4 (вертикальные) ΔAOD ~ ΔBOC (по двум углам) = k A B C D O 1 2 4 3
Cлайд 56
Решение . k = 3 AD + BC = = 3BC + BC = 4BC AD + BC = 4,8см (по условию) BC = 1,2 см AD = 3,6 см Ответ: BC = 1,2 см AD = 3,6 см
Cлайд 57
ЗАДАЧИ 2. Докажите, что треугольники, изображенные на рисунке, подобны, и выясните взаимное положение прямых CB и DF. Решение:
Cлайд 58
Решение Отсюда ΔABC~ΔDEF по трем пропорциональным сторонам Найдем отношение сходственных сторон данных треугольников
Cлайд 59
Решение ΔABC~ΔDEF Соответственно A = E B = F ACB = EDF E . Рассмотрим прямые BC и DF, секущую AE 1 = 2 (внешние накрест лежащие) BC || DF.
Cлайд 60
ЗАДАЧИ 3. Отрезки AB и CD пересекаются в точке O, причем . Докажите, что CBO = DAO. Решение:
Cлайд 61
Решение Рассмотрим ΔAOD и ΔCOB DOA = COB (вертикальные). . ΔAOD ~ ΔCOB по углу и двум пропорциональным сторонам. CBO = DAO (из подобия). A O C B D
Cлайд 62
ЗАДАЧИ 4. В треугольнике ABC AB = 4, BC = 6, AC = 7. Точка E лежит на стороне AB. Внутри треугольника взята точка M так, что MB = 5,25, ME = 4,5, AE = 1. Прямая BM пересекает AC в точке P. Докажите, что ΔAPB равнобедренный. Решение:
Cлайд 63
Решение . Рассмотрим ΔBEM и ΔABC BE = AB − AE = 4 – 1 = 3 BE : AB = 3 : 4 = 0,75 EM : BC = 4,5 : 6 = 0,75 BM : AC = 5,25 : 7 = 0,75, т.е. стороны треугольников пропорциональны B E P C A M 7 6 4 4,5 5,25 1
Cлайд 64
ΔBEM ~ ΔABC по трем пропорциональным сторонам. Следовательно, BME = AСB EBM = BAC BEM = ABC. Рассмотрим треугольник ABP: EBM = BAC, т.е. ABP = BAP. ΔABP – равнобедренный, что и требовалось доказать. Решение
Cлайд 65
ЗАДАЧИ 5. Диагональ AC параллелограмма ABCD равна 90. Середина M стороны AB соединена с вершиной D. Отрезок MD пересекает AC в точке O. Найдите отрезки AО и CО. Решение:
Cлайд 66
Рассмотрим ΔAOM и ΔCОD AOM = CОD (вертикальные), MAO = ОCD (накрест лежащие при AB || DC и секущей AC). Отсюда ΔAOM ~ ΔCОD по двум углам. Решение C
Cлайд 67
Решение C ΔAOM ~ ΔCОD . AM = ½ AB (по условию) AB = CD (ABCD - параллелограмм), AM : CD = 1 : 2 т.е. AO = 0,5CО AO = ⅓AC = ⅓·90 = 30 CO = ⅔AC = ⅔·90 = 60
Cлайд 68
ТЕСТ Решите задачи, отметьте нужные ячейки А Б В Г 1 2 3 4 5
Cлайд 69
ТЕСТ 1. По данным рисунка х равен А) 7 Б) 14 В) 3,5 Г) 14/3
Cлайд 70
ТЕСТ 2) По данным рисунка периметр ΔABC равен А) 9 Б) 27 В) 36 Г) 18
Cлайд 71
ТЕСТ А В С 3) По данным рисунка отрезок BC равен А) 3,75 Б) 7,5 В) 5 Г) 4,5 3 3 4 0,5 2,5
Cлайд 72
ТЕСТ 4) По данным рисунка площади данных треугольников относятся А) 3 : 1 Б) 9 : 1 В) 6 : 1 Г) 9 : 4
Cлайд 73
ТЕСТ 5) По данным рисунка прямые AB и DE А) нельзя ответить Б) пересекаются В) параллельны
Cлайд 74
ТЕСТ ОТВЕТЫ: А Б В Г 1 2 3 4 5
Cлайд 75
Помощь в управлении презентацией управление презентацией осуществляется с помощью левой клавиши мыши переход от одного слайда к другому и на гиперссылки по одиночному щелчку завершение презентации при нажатии кнопки выход Возврат в содержание Переход по слайдам Возврат к гиперссылке Справка
