X
Код презентации скопируйте его
Основы комбинаторики
Скачать эту презентацию
Презентация на тему Основы комбинаторики
Скачать эту презентациюCлайд 1
§ 1. Примеры комбинаторных задач и общие принципы комбинаторики
Cлайд 2
Правило произведения Пусть объект а1 можно выбрать n1, различными способами, после каждого выбора объекта а1 объект а2 можно выбрать n2 различными способами,..., после каждого выбора объектов а1, а2,..., аp-1 объект аp можно выбрать nр различными способами. Тогда количество способов, которыми можно выбрать а1, а2, ..., аp равно n1n2...np.
Cлайд 3
Составление слова из восьми букв можно представить как заполнение буквами клеток следующей таблицы: 1 2 3 4 5 6 7 8 На первое место можно поставить любую из восьми букв, на второе - любую из семи оставшихся и т.д. вплоть до заполнения единственным способом клетки № 8 последней оставшейся буквой. Число способов заполнения таблицы будет равно 8·7·6·5·4·3·2·1=8! Напомним, что символом п! (читается «эн факториал») обозначается произведение всех натуральных чисел от 1 до п: n!=1·2·...·(n-1)·n. Ответ: n!= 1 • 2 • ...• (n -1) • п.
Cлайд 4
Пример 2. Сколько четырехбуквенных «слов» можно составить из карточек «в», «е», «ч», «н», «о», «с», «т», «ь»? Пусть ак - к -я буква слова (к =1,2,3,4). Тогда n1 = 8,n2 = 7, n3=6, nА = 5 и по правилу произведения сразу получаем ответ: 8·7·6·5 = 1680. Ответ: 1680.
Cлайд 5
Пример 3. Сколькими способами можно поставить на шахматную доску белую и черную ладью так, чтобы они не били друг друга?
Cлайд 6
Выбор объекта а1 - поля для белой ладьи - может быть сделан n1 = 64 способами. Независимо от выбора этого поля белая ладья бьет 15 полей, поэтому для черной ладьи остается 64-15 =49 полей: n2 = 49. Ответ: число расстановок ладей равно 64 · 49 = 3136.
Cлайд 7
Пример 5. Сколь различных слов можно получить, переставляя буквы слова «комбинаторика»?
Cлайд 8
В слове «комбинаторика» 13 букв. Если бы все они были различны, то, переставляя их, можно было бы получить 13! слов. Но в нашем слове буквы к, о, и, а встречаются по два раза. Обозначим их к1,к2,о1,о2,и1,и2,а1,а2. Ясно, что слова, отличающиеся перестановкой букв к1ик2 - одинаковые, так что 13! Слов разбиваются на пары одинаковых. Следовательно, если мы не различаем к1 и к2, то число всех слов будет равно 13!/2!. Но эта совокупность также разбивается на пары одинаковых с точки зрения буквы “о„ слов и т.д. 13! 13! Ответ: = = —. 2!2!2!2! 16
Cлайд 9
Пример 6. Сколько существует четырехзначных чисел, у которых все цифры нечетные? Сколько существует четырехзначных чисел, в записи которых есть хотя бы одна четная цифра?
Cлайд 10
Всего нечетных цифр — пять, поэтому выбор к-й цифры числа может быть сделан nк =5 способами (к =1, 2, 3, 4) а количество четырехзначных чисел, у которых все цифры нечетные, равно 5·5·5·5 = 625.
Cлайд 11
Правило суммы Если объект а можно выбрать т различными способами, а объект b можно выбрать n различными способами, причем результаты выбора объектов а и b никогда не совпадают, то выбор “либо а, либо b» можно осуществить т + n различными способами.
Cлайд 12
Пример 7. Сколько различных пар можно образовать из 28 костей домино так, чтобы кости, входящие в пару, можно было приложить друг к другу?
Cлайд 13
Выбор пары костей — это выбор двух карточек вида a1b1, a2b2, где можно считать, что а ≤ b. Выберем первую кость - это можно сделать 28 способами, из них в 7 случаях кость окажется дублем, т.е. кость вида aa, а в 21 случае — кость вида ab, а < b . В первом случае вторую кость можно выбрать 6 способами, а число способов выбора пары костей по правилу произведения равно 7 · 6 = 42 . Во втором случае вторую кость можно выбрать 12 способами — 6 костей вида a|* и 6 костей вида *|а ,а число способов выбора пары равно 21·12 = 252. Следовательно по правилу суммы всего получается 42 + 252 = 294 способа выбора упорядоченной пары. Ответ: 147 пар.
Cлайд 14
§ 2. Размещения и перестановки
Cлайд 15
Определение. Всякая упорядоченная выборка объема k из множества, состоящего из n элементов, называется размещением из n элементов по k элементов и обозначается через Аn . k
Cлайд 16
Определение. Размещение из n элементов по n называется перестановкой из n элементов и обозначается через Рn .
Cлайд 17
Справедлива формула Аn =n (n-1)...(n - к + 1) k где 1 ≤ к ≤ n.
Cлайд 18
На первое место в выборке можно поместить любой из n элементов, на второе - любой из (n - 1) оставшихся и т.д. После выбора элементов на(k-1)-е место останется n-(к-1) = n-к+1 элемен- 1 2 k-1 k тов, любой из которых можно поместить на к-е место. По правилу произведения получаем Аn = (n-1)...(n - к + 1) В частности, Рn=An =n(n-1)… ·2·1 = n! (2) n k …
Cлайд 19
An = n(n - 1)...(n - k+1)·(n-k)!= n! (n-к)! (n-к)! k
Cлайд 20
Пример 9. Сколько шестизначных чисел, кратных 5, можно составить из цифр 0, 1,2, ..., 9 при условии, что цифры в записи числа не повторяются?
Cлайд 21
Последней цифрой искомого числа может быть 0 или 5. В первом случае остальные пять цифр можно выбирать из множества {1,2, ..., 9} 9! и число вариантов равно А9 = — = 15120. Если число 4! oканчивается цифрой 5, то в качестве первой цифры можно взять любую из восьми цифр 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9 - нельзя использовать 0, т.к. число должно быть шестизначным. Цифры со второй по четвертую можно выбрать A8 = 1680 различными способами. Следовательно, по правилу произведения имеется 8·A8 чисел, оканчивающихся цифрой 5. По правилу суммы находим, сколько существует чисел, удовлетворяющих условию задачи. А9 +8·A8 = 28560. Ответ: 28560. 5 4 4 5 4
Cлайд 22
Пример 10. Сколькими способами можно расставить на книжной полке десятитомник Пушкина так, чтобы том 2 стоял рядом с томом 1 и справа от него? Ответ: 9!
Cлайд 23
§ 3. Сочетания
Cлайд 24
Определение. Всякая неупорядоченная выборка объема к из множества, состоящего из n элементов (к≤n), называется сочетанием из n элементов по к элементов и обозначается через Сn . k
Cлайд 25
Из любого набора,содержащего к элементов, можно с помощью перестановок получить k! упорядоченных выборок объема k, поэтому Откуда (4)
Cлайд 26
Cлайд 27
Пример 11. Хоккейная команда состоит из 2 вратарей, 7 защитников и 10 нападающих. Сколькими способами тренер может образовать стартовую шестерку, состоящую из вратаря, двух защитников и трех нападающих?
Cлайд 28
Вратаря можно выбрать способами, защитников - способом, нападающих – способами. Всего, по правилу произведения, существует 2 · 21 · 120 = 5040 способов выбора стартовой шестерки. Ответ: 5040.
Cлайд 29
Пример 12. На плоскости проведены n прямых, среди которых нет ни одной пары параллельных прямых и ни одной тройки прямых, пересекающихся в одной точке. Найти число точек пересечения этих прямых и число треугольников, образованных этими прямыми.
Cлайд 30
Число точек пересечения прямых равно числу способов выбора неупорядоченной пары прямых, т.е. . Аналогично, каждый треугольник определяется тройкой прямых, поэтому общее число треугольников равно . Ответ: и .
Cлайд 31
Пример 13. Для проведения письменного экзамена по комбинаторике надо составить 4 варианта по 7 задач в каждом. Сколькими способами можно разбить 28 задач на 4 варианта?
Cлайд 32
Задачи для первого варианта можно выбрать способами. После этого останется 21 задача, так что второй вариант можно составить способами. Для третьего варианта задачи можно выбрать способами, а для четвертого - = 1 способом.
Cлайд 33
По правилу произведения получаем число . Но так как варианты равноправны, то полученное число надо разделить на 4! Ответ: =
Cлайд 34
Свойства чисел : 1°. , если 0≤к≤n; 2°. , если 0≤к≤n+1; 3°.
Cлайд 35
Свойство 1°
Cлайд 36
Свойство 2°
Cлайд 37
Cлайд 38
Треугольник Паскаля:
Cлайд 39
Свойство 3° Положим Так как каждое число строки с номером п входит в качестве слагаемого в два соседних числа следующей строки, то Sn+1 = 2Sn . Следовательно, т.к. S0=1.
Cлайд 40
§ 4. Бином Ньютона
Cлайд 41
(a + b) =a +2ab + b и (a + b) = а +3а b + 3ab +b .
Cлайд 42
Cлайд 43
Если в формуле (5) взять а =b = 1, то получится известное нам свойство 3° чисел , а если взять а=1, b = -1, то получим еще одно комбинаторное равенство:
Cлайд 44
Cлайд 45
Формула (6) называется полиномиальной. Например, (а + b + с) = а + b + с + 3(а b + а с + b а + b с + с а + c b ) + 6abc.
Cлайд 46
Пример 14. Найти n, если известно, что в разложении (1 + x) коэффициенты при х и х равны.
Cлайд 47
В n-й строке треугольника Паскаля два коэффициента равны в том и только том случае, когда они занимают клетки, равноудаленные от крайних. Действительно, треугольник Паскаля симметричен: , а при движении от края к середине строки коэффициенты возрастают: при и при
Cлайд 48
Следовательно, равно тогда и только тогда, когда 12 = n-5, т.е. n= 17. Ответ: n = 17.
Cлайд 49
Пример 15. Найти коэффициент при х в разложении (1 + х +х ) .
Cлайд 50
В силу формулы (6) = Так как уравнение 5k2 + 9к3 =19 имеет только одно решение в неотрицательных числах k2=2, k3 = 1, то коэффициент при х равен
Cлайд 51
2) Обозначим через . Тогда Рассмотрим k-е слагаемое (0≤k≤30): Такое слагаемое будет содержать х , если для некоторого т выполняется равенство 5k + 4m = 19. Ясно, что это возможно только при k=3 и т=1. Следовательно, коэффициент при х равен =12180.
Cлайд 52
Литература 1. Кутасова А.Д., Пиголкина Т.С, Чехлов В.И., Яковлева Т.Х., Пособие по математике для поступающих в вузы. /под ред. Г.Н. Яковлева - M.: Наука, 1988. 2. Виленкин Н.Я. Популярная комбинаторика. — М.: Наука, 1975. 3. Генкин С.А., Итенберг И.В., Фомин Д.В. Ленинградские математические кружки. — Киров, 1994.
Cлайд 53
Контрольные вопросы Сколько делителей у числа 2004 ? Сколько диагоналей в выпуклом 2004-угольнике? Сколько различных натуральных решений имеет неравенство n+m≤2004? 4. Чему равен коэффициент при х y в выражении (х + у) после раскрытия скобок? 5. С помощью соответствующей строки треугольника Паскаля выпишите формулу для вычисления (а-b) .
Cлайд 54
Задачи 1(3). Сколько различных слов можно получить, переставляя буквы в слове «параллелограмм»? 2(4). Сколькими способами можно переставлять буквы слова «раз- мещение» так, чтобы три буквы «е» не шли подряд? 3(3). Решите уравнение 4(3). Известно, что никакие три диагонали выпуклого восьмиуголь ника не пересекаются в одной точке. Найдите число точек пе ресечения диагоналей. 5(4). Сколькими способами можно поставить на шахматную доску белого и черного слонов так, чтобы они не били друг друга? 6(5). Найдите сумму всех трехзначных чисел, которые можно напи сать с помощью цифр 1, 2, 3, 4, 5 (любую из цифр можно ис пользовать несколько раз). 7(5). Докажите тождество 8(6).Сколькими способами можно распределить 12 различных книг по четырем полкам так, чтобы на каждой полке ока залась ровно три книги? 9(6). Сколькими способами можно распределить 12 одинако вых книг по четырем полкам так, чтобы на каждой полке была хотя бы одна книга? В задачах №8 и №9 все полки разные. 10(6). В выпуклом восьмиугольнике проведены все диагона ли, причем известно, что никакие три диагонали не пере секаются в одной точке. На сколько частей разделится восьмиугольник? 11(6). Найдите наибольший коэффициент многочлена (1 + 2х) . 12(6). Найдите коэффициент при х в разложении по степе ням х 1+(1+x)+…+(1+x) .
