X
Код презентации скопируйте его
Граф и его элементы
Скачать эту презентацию
Презентация на тему Граф и его элементы
Скачать эту презентациюCлайд 1
Граф и его элементы Основные определения
Cлайд 2
Переход по слайдам осуществляется только по нажатию левой кнопки мыши клик мыши!!! Если есть мигающая стрелка, значит нужно нажатие левой кнопки мыши в любом месте слайд для продолжения презентации!!!! После прочтения удалить слайд!
Cлайд 3
ГРАФОМ G = (V, X) НАЗЫВАЕТСЯ ПАРА ДВУХ КОНЕЧНЫХ МНОЖЕСТВ: МНОЖЕСТВО ТОЧЕК И МНОЖЕСТВО ЛИНИЙ, СОЕДИНЯЮЩИХ НЕКОТОРЫЕ ПАРЫ ТОЧЕК. Впервые понятие «граф» ввел в 1936 г. венгерский математик Денни Кёниг. но первая работа по теории графов принадлежала перу великого Леонарда Эйлера и была написана еще в 1736 г.
Cлайд 4
ТОЧКИ НАЗЫВАЮТСЯ ВЕРШИНАМИ, ИЛИ УЗЛАМИ, ГРАФА, ЛИНИИ – РЕБРАМИ ГРАФА. ПРИМЕРЫ ГРАФОВ G H E C D F A B C A B a b c d e A B C D E u p s t r q
Cлайд 5
ЕСЛИ РЕБРО ГРАФА СОЕДИНЯЕТ ДВЕ ЕГО ВЕРШИНЫ, ТО ГОВОРЯТ, ЧТО ЭТО РЕБРО ИМ ИНЦИДЕНТНО. ДВЕ ВЕРШИНЫ ГРАФА НАЗЫВАЮТСЯ СМЕЖНЫМИ, ЕСЛИ СУЩЕСТВУЕТ ИНЦИДЕНТНОЕ ИМ РЕБРО. НА РИСУНКЕ СМЕЖНЫМИ ЯВЛЯЮТСЯ ВЕРШИНЫ A и B, A и C; СМЕЖНЫМИ ЯВЛЯЮТСЯ РЕБРА c и d, a и b. ЕСЛИ ГРАФ ИМЕЕТ РЕБРО, У КОТОРОГО НАЧАЛО И КОНЕЦ СОВПАДАЮТ, ТО ЭТО РЕБРО НАЗЫВАЕТСЯ ПЕТЛЕЙ (у графа петля – q(C,C)). ДВА РЕБРА НАЗЫВАЮТСЯ СМЕЖНЫМИ, ЕСЛИ ОНИ ИМЕЮТ ОБЩУЮ ВЕРШИНУ. C A B a b c d e B D
Cлайд 6
КРАТНЫЕ РЕБРА ЧИСЛО РЕБЕР, ИНЦИДЕНТНЫХ ВЕРШИНЕ A , НАЗЫВАЕТСЯ СТЕПЕНЬЮ ЭТОЙ ВЕРШИНЫ И ОБОЗНАЧАЕТСЯ deg(A). deg(A)= 3; deg(B) = 3; deg(C) = 4; deg(D) = 2; deg(E) = 0. ЕСЛИ ВЕРШИНЕ ИНЦИДЕНТНА ПЕТЛЯ, ОНА ДАЕТ ВКЛАД В СТЕПЕНЬ, РАВНЫЙ ДВУМ, ТАК КАК ОБА КОНЦА ПРИХОДЯТ В ЭТУ ВЕРШИНУ. C A B a b c d e A B C D E u p s t r q
Cлайд 7
deg(E) = 0 E – ИЗОЛИРОВАННАЯ ВЕРШИНА deg(G) = 1 deg(H) = 1 deg(E) = 1 deg(B) = 1 deg(A) = 1 G, H, E, B, A - ВИСЯЧИЕ ВЕРШИНЫ A B C D E u p s t r q G H E C D F A B
Cлайд 8
ТЕОРЕМА В ГРАФЕ G(V, X) СУММА СТЕПЕНЕЙ ВСЕХ ЕГО ВЕРШИН – ЧИСЛО ЧЕТНОЕ, РАВНОЕ УДВОЕННОМУ ЧИСЛУ РЕБЕР ГРАФА: ТЕОРЕМА ЧИСЛО НЕЧЕТНЫХ ВЕРШИН ЛЮБОГО ГРАФА – ЧЕТНО. СЛЕДСТВИЕ НЕВОЗМОЖНО НАЧЕРТИТЬ ГРАФ С НЕЧЕТНЫМ ЧИСЛОМ НЕЧЕТНЫХ ВЕРШИН. ВЕРШИНА НАЗЫВАЕТСЯ ЧЕТНОЙ (НЕЧЕТНОЙ), ЕСЛИ ЕЕ СТЕПЕНЬ – ЧЕТНОЕ(НЕЧЕТНОЕ) ЧИСЛО.
Cлайд 9
ГРАФ НАЗЫВАЕТСЯ ПОЛНЫМ, ЕСЛИ ЛЮБЫЕ ДВЕ ЕГО РАЗЛИЧНЫЕ ВЕРШИНЫ СОЕДИНЕНЫ ОДНИМ И ТОЛЬКО ОДНИМ РЕБРОМ. ДОПОЛНЕНИЕМ ГРАФА НАЗЫВАЕТСЯ ГРАФ С ТЕМИ ЖЕ ВЕРШИНАМИ И ИМЕЮЩИЙ ТЕ И ТОЛЬКО ТЕ РЕБРА, КОТОРЫЕ НЕОБХОДИМО ДОБАВИТЬ К ИСХОДНОМУ ГРАФУ, ЧТОБЫ ОН СТАЛ ПОЛНЫМ. ДОПОЛНЕНИЕ Если есть мигающая стрелка, значит нужен клик для продолжения презентации!!!!
Cлайд 10
ДУГИ НАЧАЛО ДУГИ (A,B) КОНЕЦ ДУГИ (A,B) СТЕПЕНЬЮ ВХОДА (ВЫХОДА) ВЕРШИНЫ ОРГРАФА НАЗЫВАЕТСЯ ЧИСЛО РЕБЕР, ДЛЯ КОТОРЫХ ЭТА ВЕРШИНА ЯВЛЯЕТСЯ КОНЦОМ (НАЧАЛОМ). СТЕПЕНИ ВХОДА ВЕРШИН ГРАФА (см. рис.): СТЕПЕНИ ВЫХОДА ВЕРШИН: ОРГРАФ ОРИЕНТИРОВАННЫЙ ГРАФ (ОРГРАФ) — ГРАФ, РЁБРАМ КОТОРОГО ПРИСВОЕНО НАПРАВЛЕНИЕ. НАПРАВЛЕННЫЕ РЁБРА ИМЕНУЮТСЯ ДУГАМИ. A B C u t s r
Cлайд 11
Последовательность ребер неориентированного графа, в которой вторая вершина предыдущего ребра совпадает с первой вершиной следующего, называется маршрутом. Число ребер маршрута называется длиной маршрута. HCDFD – МАРШРУТ ДЛИНОЙ 4. G H
Cлайд 12
Если начальная вершина маршрута совпадает с конечной, то такой маршрут называется замкнутым или циклом. Если ребро встретилось только один раз, то маршрут называется цепью. (t, s, p, r) – 4-ЦИКЛ (t, s, u, r, t, s, p, r) – 8-ЦИКЛ петля (q) – 1-ЦИКЛ (t, s, p) – 3-ЦЕПЬ A B C D E u p s t r q
Cлайд 13
совпадает с началом следующего и все ребра единственны. ЦИКЛ В ОРГРАФЕ – ПУТЬ, У КОТОРОГО СОВПАДАЮТ НАЧАЛО И КОНЕЦ. (u, s, r, t) – 4-путь (r, u) – 2-путь (s, r, t) и (u, s, r) – 3-циклы Путь – упорядоченная последовательность ребер ориентированного графа, в которой конец предыдущего ребра A B C u t s r
Cлайд 14
ЦЕПЬ, ПУТЬ И ЦИКЛ В ГРАФЕ НАЗЫВАЮТСЯ ПРОСТЫМИ, ЕСЛИ ОНИ ПРОХОДЯТ ЧЕРЕЗ ЛЮБУЮ ИЗ ВЕРШИН НЕ БОЛЕЕ ОДНОГО РАЗА. НЕОРИЕНТИРОВАННЫЙ ГРАФ НАЗЫВАЕТСЯ СВЯЗНЫМ, ЕСЛИ МЕЖДУ ЛЮБЫМИ ДВУМЯ ЕГО ВЕРШИНАМИ ЕСТЬ МАРШРУТ. ТЕОРЕМА ДЛЯ ТОГО, ЧТОБЫ СВЯЗНЫЙ ГРАФ ЯВЛЯЛСЯ ПРОСТЫМ ЦИКЛОМ, НЕОБХОДИМО И ДОСТАТОЧНО, ЧТОБЫ КАЖДАЯ ЕГО ВЕРШИНА ИМЕЛА СТЕПЕНЬ, РАВНУЮ 2.
Cлайд 15
ГРАФ G НАЗЫВАЕТСЯ ПЛАНАРНЫМ (ПЛОСКИМ), ЕСЛИ СУЩЕСТВУЕТ ТАКОЙ ГРАФ G' , В ИЗОБРАЖЕНИИ КОТОРОГО НА ПЛОСКОСТИ РЕБРА ПЕРЕСЕКАЮТСЯ ТОЛЬКО В ВЕРШИНАХ. ПЛАНАРНЫЕ ГРАФЫ C A B a b c d e G H E C D F A B
Cлайд 16
ЭЙЛЕРОВЫМ ПУТЕМ (ЦИКЛОМ) ГРАФА НАЗЫВАЕТСЯ ПУТЬ (ЦИКЛ), КОТОРЫЙ СОДЕРЖИТ ВСЕ РЕБРА ГРАФА ТОЛЬКО ОДИН РАЗ. ГРАФ, ОБЛАДАЮЩИЙ ЭЙЛЕРОВЫМ ЦИКЛОМ, НАЗЫВАЕТСЯ ЭЙЛЕРОВЫМ. ТЕОРЕМА ГРАФ ЯВЛЯЕТСЯ ЭЙЛЕРОВЫМ ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА ОН – СВЯЗНЫЙ ГРАФ, ИМЕЮЩИЙ ВСЕ ЧЕТНЫЕ ВЕРШИНЫ.
Cлайд 17
ГАМИЛЬТОНОВЫМ ПУТЕМ(ЦИКЛОМ) ГРАФА НАЗЫВАЕТСЯ ПУТЬ(ЦИКЛ), ПРОХОДЯЩИЙ ЧЕРЕЗ КАЖДУЮ ЕГО ВЕРШИНУ ТОЛЬКО ОДИН РАЗ. ГРАФ, СОДЕРЖАЩИЙ ГАМИЛЬТОНОВ ЦИКЛ, НАЗЫВАЕТСЯ ГАМИЛЬТОНОВЫМ. (C, D, A, B, E) – гамильтонов путь A B C D E
Cлайд 18
МАТРИЦЕЙ ИНЦИДЕНТНОСТИ ГРАФА G НАЗЫВАЮТ ТАБЛИЦУ B, СОСТОЯЩУЮ ИЗ n СТРОК(ВЕРШИНЫ) И m СТОЛБЦОВ(РЕБРА), В КОТОРОЙ: bij = 1, ЕСЛИ ВЕРШИНА Vj ИНЦИДЕНТНА РЕБРУ Xj bij = 0, ЕСЛИ ВЕРШИНА Vi ИНЦИДЕНТНА РЕБРУ Xi ДЛЯ ОРИЕНТИРОВАННОГО ГРАФА: ДЛЯ НЕОРИЕНТИРОВАННОГО ГРАФА: bij = 1, ЕСЛИ ВЕРШИНА Vi ЯВЛЯЕТСЯ НАЧАЛОМ ДУГИ Xj bij = 1, ЕСЛИ ВЕРШИНА Vj НЕ ИНЦИДЕНТНА ДУГЕ Xj bij = -1, ЕСЛИ ВЕРШИНА Vi ЯВЛЯЕТСЯ КОНЦОМ ДУГИ Xj
Cлайд 19
МАТРИЦЕЙ СМЕЖНОСТИ ГРАФА G(V,X) БЕЗ КРАТНЫХ РЕБЕР НАЗЫВАЮТ КВАДРАТНУЮ МАТРИЦУ A ПОРЯДКА n, В КОТОРОЙ: aij = 1, ЕСЛИ (Vi, Vj) X aij = 0, ЕСЛИ (Vi, Vj) X
Cлайд 20
СЛЕДУЮЩИЙ ОРГРАФ ЗАДАЕТСЯ ТАБЛИЦЕЙ ИНЦИДЕНТНОСТИ: A B C u t s r r s t u A 1 -1 0 0 B -1 0 1 1 C 0 1 -1 -1
Cлайд 21
СЛЕДУЮЩИЙ ГРАФ ЗАДАЕТСЯ ТАБЛИЦЕЙ ИНЦИДЕНТНОСТИ: A B C D E u s t r A B C D E A 0 1 1 0 0 B 1 0 0 1 0 C 1 0 0 1 0 D 0 1 1 0 0 E 0 0 0 0 0
